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专题限时集训(十一) 附加题部分

(对应学生用书第107页)

(限时：120分钟)

1．(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：3x＝1＋t??5?4??y＝5t长．

[解] 法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4， 将曲线C的参数方程化为普通方程得y＝4x.

??4x－3y＝4，联立方程组?2

??y＝4x，

2

??x＝4k(t为参数)，与曲线C：?

?y＝4k?

2

(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的

4分

??x＝4，

解得?

??y＝4，

1??x＝，

或?4??y＝－1.

?1?所以A(4,4)，B?，－1?.

?4?

25

所以AB＝. 4

法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y＝4x.

2

10分

?4?2?3?2

直线l的参数方程代入抛物线C的方程得?t?＝4?1＋t?，即4t－15t－25＝0，

?5??5?

1525

所以t1＋t2＝，t1t2＝－.

44所以AB＝|t1－t2|＝

t1＋t2

2

25

－4t1t2＝. 4

10分

2．(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为π??2

ρ＝2，ρ－22ρcos?θ－?＝2.

4??

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

π??2222

[解] (1)ρ＝2?ρ＝4，所以x＋y＝4；因为ρ－22ρcos?θ－?＝2，2分

4??ππ??222

所以ρ－22ρ?cos θcos＋sin θsin?＝2，所以x＋y－2x－2y－2＝0.

44??

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

8分

6分

π?2?化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin?θ＋?＝.10分 4?2?

3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N，

*

f (n)＝3n＋7n－2.

(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；

(2)证明：对任意正整数n，f (n)是8的倍数． [解] (1)代入求出f (1)＝8，f (2)＝56，f (3)＝368. (2)证明：①当n＝1时，f (1)＝8是8的倍数， 命题成立．

②假设当n＝k时命题成立，即f (k)＝3＋7－2是8的倍数， 那么当n＝k＋1时，f (k＋1)＝3

因为7＋1是偶数，所以4(7＋1)是8的倍数， 又由归纳假设知3(3＋7－2)是8的倍数， 所以f (k＋1)是8的倍数， 所以当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②知命题对任意n∈N成立.

4．(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当n∈N时，3

[解] 3

n－1

22n＋2

*

2n＋2

*

2分

kkk＋1

＋7

k＋1

－2＝3(3＋7－2)＋4(7＋1)，

6分

kkkkkkk10分

－8n－9能被64整除．

n＋1

－8n－9＝9

n＋1

－8n－9＝(8＋1)

2

n＋1

－8n－9＝8

n－2

2

＋Cn＋1·8＋Cn＋1·8

n－1

1n2n－1

＋…＋

Cn＋1·8＋Cn＋1·8＋1－8n－9＝8·(8而8

n－1

nn－1

＋Cn＋1·8

*

1

＋Cn＋1·8

2n＋2

n－3

＋…＋Cn＋1)，6分

＋Cn＋1·8

1n－2

＋Cn＋1·8

2n－3

＋…＋Cn＋1∈N，所以3

n－1

－8n－9能被64整除.10分

5．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a，b，c为正实数，

b2c2a2

求证：＋＋≥a＋b＋c.

abc【导学号：56394086】

[证明] ∵a，b，c为正实数，

b2c2a2

∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a，

abc将上面三个式子相加得：

4分

b2c2a2

a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，

abcb2c2a2

∴＋＋≥a＋b＋c. abc10分

6．(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)＝|x＋1|－|x|＋a.

(1)若不等式f (x)≥0的解集为空集，求实数a的取值范围； (2)若方程f (x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

[解] (1)令g(x)＝|x＋1|－|x|，则f (x)≥0的解集为空集?g(x)≥－a的解集为空集?g(x)＜－a恒成立，

－1，x＜－1，??

g(x)＝|x＋1|－|x|＝?2x＋1，－1≤x＜0

??1，x≥0，

，作出函数g(x)的图象，由图可知，函数

g(x)的最大值为g(x)max＝1，所以－a＞1，即a＜－1.

综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．

5分

(2)在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1＜a＜0.

10分

7．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11－9，已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC. 求证：AD·BC＝2AC·CD.

图11－9

[证明] ∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径， ∴AD垂直平分BC，设垂足为E(图略)， ∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED， ∴△ACD∽△CED， ∴

6分

ADAC1

＝，∴AD·BC＝AC·CD， CDCE2

10分

∴AD·BC＝2AC·CD.

8．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11－10，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.