内容发布更新时间 : 2024/11/8 13:54:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

期末考试试题 线性代数I

一、填空题（15分，每题3分）

?3???TTT1、(123)2= 。 2、若(0,2,4,t)，(0,3,t,9)，(1,?t,2,3)线性相关，则t= 。

????1??3、A是2阶方阵，B是3阶方阵，|A|?2，|B|?4，则||A|?1B|= 。

4、若A是3阶方阵，且2I?A，?I?A，I?A均不可逆，则A的特征值为 。

2225、二次型f?x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型，则?的取值范围是 。

二、选择题（15分，每题3分）

1、已知x为n维列向量，xx?1，A?xx，I为n阶单位阵，则 。

TTA、A??A B、A??I C、A?I D、A?A

22222、设A是4阶方阵，A的行列式|A|?0，则A中 。

A、必有一列元素全为零 B、必有两列元素对应成比例

C、必有一列向量是其余列向量的线性组合 D、任一列向量是其余列向量的线性组合 3、设1是A的特征值，则 。

A、1是A?A的特征值 B、2是A?A的特征值

22C、2是A?A的特征值 D、1是A?A的特征值

224、设向量组?1，?2，…, ?n的秩为r，则此向量组中 。 A、任意r个向量线性无关 B、任意r个向量线性相关 C、任意r?1个向量线性相关 D、任意r?1个向量线性相关

2225、二次型f(x1,x2,x3)?2x1?4x2?6x3?4x1x2?6x2x3对应的矩阵为 。

0?0?0?0??24?12?22?14????????A、44?6 B、22?3C、24?3 D、42?6 ?????????????0?66???0?33???0?36???0?66??三、计算行列式：（16分，每题8分）

412312330...n...n ...n1、3412 2、

23411234?10?1?2?????1?2?3...0?21?1?????1?13?

0四、（10分）求解矩阵方程X21???432?????1?11??编辑版word

五、（10分）已知向量组?1，?2, ?3，?4线性无关，?1??1?t1?2，?2??2?t2?3，?3??3?t3?4，其中t1，

t2，t3是数，试证向量组?1，?2，?3线性无关。

六、（12分）讨论a为何值时，下列方程组无解，有解？并在有解时求出其通解。

?x1?2x2?x3?2x4?0??2x1?x2?x3?x4?1 ?3x?x?2x?x?a234?1?101???七、（12分）已知A?020，求一个正交阵P，使PTAP为对角阵，并写出此对角阵。 ????101??22八、（10分）用配方法化二次型为标准形，并写出可逆变换 f?x1?5x2?2x1x2?2x1x3

期末考试试题答案及评分标准 线性代数I

一、填空题：（15分，每题3分） 1、10 2、6 3、

1 4、2，-1，1 5、（-2，1） 2二、选择题：（15分，每题3分）

1、D 2、C 3、B 4、D 5、C 三、计算行列式：（16分，每题8分）

41231、

1123=1011=102213?213412234112341233014121341123403?1?10201n3?1?1=20111?1=160 …………..8分 11...n123...?102、?1?2...n0...n=0??????1?2?3...0026...2n03...2n=n! …………..8分 ??00...?n四、（10分）

?21?1100??1?11001??1?11001?????210010???03?201?2?

0010解：21?????????1?11001????21?1100???03?310?2??001??1?11?1001/301/3???01?11/30?2/3???010?2/31?2/3? ??????0??110??001?11??001?编辑版word

?21?1??1/301/3??????2/31?2/3?， …………..6分

0从而21??????0??1?11????11?所以X=??1?1?13??432???1/301/3?1???2/31?2/3?=??22????8/35?2/3?。 …………..10分

???0???11?五、（10分）证明：设k1?1?k2?2?k3?3??， …………..2分 即k1(?1?t1?2)?k2(?2?t2?3)?k3(?3?t3?4)??， …………..4分 从而有k1?1?(t1k1?k2)?2?(t2k2?k3)?3?t3k3?4??， …………..6分

?k1?0?tk?k?0?112因为?1，?2, ?3，?4线性无关，所以?， …………..8分

?t2k2?k3?0??t3k3?0得k1?0，k2?0，k3?0，故?1，?2，?3线性无关。 …………..10分六、（12分）

0??12?1?20??12?1?20??12?1?2????0?51???0?51?…..3分

15151解：2?1?11?????????5a?00a?1??31?2?1a???0?51??00?a?1时，无解； …………..5分

a?1时，有无穷组解； …………..7分

?2/5???1/5??x1?2x2?x3?2x4?0?，………..8分 等价方程组为：?，令x3?x4?0，得特解????0???5x2?x3?5x4?1??0???3/5??0??1/5??1??x1?2x2?x3?2x4?0?，?2???， …………..10分 导出组：?，得基础解系?1???1??0???5x2?x3?5x4?0????0???1??2/5??3/5??0???1/5??1/5??1??+k1??+k2??，其中k1，k2为任意常数。 …………..12分 通解为：??1??0??0???????00???1?????1七、（12分）解：|?I?A|?0?10=?(??2)2=0，

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0?1??20