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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1)极限lim[1?ln(1?x)]=

x?02x. . ?(2)?(x?x)e1?1?xdx=a,若0?x?1,(3)设a?0，f(x)?g(x)??而D表示全平面，则 ?0,其他，I???f(x)g(y?x)dxdyD=. (4)设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知?202??040AB?2A?BB??????202??,,则 =. (5)设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵

(A?E)?1TA?E???T，B?E?1??， aT其中A的逆矩阵为B，则a?. (6)设随机变量X和Y的相关系数为

0.5,EX?EY?0,EX?EY?2,则E(X?Y)=.

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)曲线y?xe()

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(A)仅有水平渐近线.(B)仅有铅直渐近线.

(C)既有铅直又有水平渐近线.(D)既有铅直又有斜渐近线.

(2)设函数f(x)?x?1?(x)，其中?(x)在x?1处连续，则?(1)?0是f(x)在x?1处可导的()

(A)充分必要条件.(B)必要但非充分条件. (C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件. (3)设可微函数f(x,y)在点(x,y)取得极小值，则下列结论正确的是() (A)f(x,y)在y?y处的导数等于零.(B)f(x,y)在y?y处的导数大于零. (C)f(x,y)在y?y处的导数小于零.(D)f(x,y)在y?y处的导数不存在. 30000000000(4)设矩阵?001??B??010????100??.已知矩阵A相似于B，则秩(A?2E)与

秩(A?E)之和等于() (A)2.(B)3.(C)4.(D)5. (5)对于任意二事件A和B()

(A)若AB??，则A,B一定独立.(B)若AB??，则A,B有可能独立.

(C)若AB??，则A,B一定独立.(D)若AB??，则A,B一定不独立.

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(6)设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则()

(A)X与Y一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布. (C)X与Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布. 三、(本题满分8分)

1,1).试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]设f(x)??1x?sin1?x??(11?x),x?[122上连续. 四、(本题满分8分) 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足1g(x,y)?f[xy,(x2?y2)]2?2f?2f?2?12?u?v，又

, 求?2g?2g?.?x2?y2 五、(本题满分8分) 计算二重积分 其中积分区域D?{(x,y)x?y??}. 六、(本题满分9分) 设a?1，f(t)?a?at在(??,??)内的驻点为t(a).问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值. 七、(本题满分9分)

设y?f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形

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