内容发布更新时间 : 2024/12/22 13:38:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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知识点：数列极限；

思路：多项和时，先化简xn。

111111?11?1?1?[(1?)?(?)????]?1???? 232352?2n?12n?1?2?2n?1?1∴limxn? n??2?2?e1xx??★★14．求极限lim??。 1x?0?x?x1?e??解：∵xn?知识点：左右极限的求法；

思路：求有绝对值的函数极限要先去绝对值，另外因e在x?0处的左右极限值不同，所以需通过左右

极限讨论上述极限

1x解：?x??0时，e1x?0,e2x?0；

x??1， x?2?e1xx???2?1?1 ∴f?0?0??lim??2x?0??x?x1?e??12x?x??0时，ex???,ex???；?1，

x21/x?1?2?e1xx?e???lim?1?1?f?0?0?， ∴f?0?0??lim?2??1/xx?0?x?01?xx?e?1?e?e1/x?2?e1xx?∴lim????1 1x?0?x?x?1?e?★15．用定义证明函数f?x??x当x?0时极限为0。

知识点：函数极限定义

证明：???0，要使x?0?x??，只须取???，则当0?x?0??时，总有x?0??，

故limx?0x?0

★16．证明：若

x???及x???时，函数f?x?的极限都存在且都等于A，则limf?x??A。

x??知识点：函数极限定义

证明：对???0，因limf?x??A，∴?X1?0?X1?，当x?X1时，总有f?x??A??，

x???又因现取

x???limf?x??A，∴对上述??0，?X2?0，当x??X2时，总有f?x??A??，

X2?，当x?X时，总有f?x??A??，故limf?x??A；

f?x?当x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在

x??X?max?X1,★17．利用极限定义证明：函数

并且相等。

知识点：数列极限定义

x?x0证明：必要性：设limf?x??A，于是?????0?，?????0?，

当0?x?x0??时（即0?x?x0??和???x?x0?0），有f?x??A??，

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所以

充分性：当当??1有

f?x0?0??A,f?x0?0??A

f?x0?0??A,f?x0?0??A，则?????0?，??1??1?0?，

及???x?x0?0时，有f?x??A??；??2??2?0?，当0?x?x0??2时，

?x?x0?0，

f?x??A??；取??min??1,?2?，则当0?x?x0??x?x0??时，亦有

即0?∴

x?x0f?x??A??，

limf?x??A

x2?9★18．根据定义证明：y?为x?3时的无穷小。

x?3知识点：函数极限定义； 证明：?????0?，要使

于是对于??x2?9?0?x?3??，只须取???，

x?3，当

???0?，存在?x?3??，总有

x2?9?0??x?3x2?9?0 ，∴limx?3x?3px2?2?3qx?5，当x??时，p、q取何值时f?x?为无穷小量？p、q ★19．已知f?x??x2?1取何值时f?x?为无穷大量？

知识点：无穷小与无穷大的定义 思路：分析p、q取值对极限的影响

?px2?2?px2?2解：（1）limf?x??lim??3qx?5??lim3qx?lim5

??limx??x???x2?1x??x2?1x??x?????p?5?lim3qx?0

x??则必有q?0,p?5?0，故当q?0,p??5时，f?x?为无穷小量；

?px2?2??（2）若limf?x??lim??3qx?53qx??，必有q?0，p为 ???p?5?limx??x???x2?1x????任意常数，故当q?0，p为任意常数时，f?x?为无穷大量；

★20．计算下列极限：

xn?1（1）lim（n为正整数）；（2）limx?1x?1x?42x?1?3x?2?2；（3）

x???lim??x?p??x?q??x?；

32xsinx1x2?1x2?23x?1arctan；?3?cosx?；（4）lim3（5）lim（6）lim 22x???x??x?xx?1x?x?1?1?x知识点：极限求法；

?xn?1x?1?xn?1?xn?2?xn?3???x?1?lim?n； 解：（1）limx?1x?1x?1?x?1?（2）lim??2x?1?3x?2?2x?4?limx?4?lim?2x?8??x?4?x?4??x?2?22x?1?3???2?2x?1?3??2x?1?3??x?2?2? ?x?2?2??x?2?2??2x?1?3?23

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（3）

x???lim??x?p??x?q??x2(p?q)x?pq ?x?p??x?q??x??xlim?lim???x????x?p??x?q??x?x?p??x?q??x?p?q 2x2?1x2?1?3?cosx??0 ?0，而3?cosx是有界量，故lim3（4）因为lim3x??x?xx??x?x2xsinx12x1arctan?limsinxarctan?0； （5）limx???xx???x11?x2x2?1x3（6）limx?2x?123x?1?x?1?2?limx?1?x?1???x?1??x?333223x?1??2?limx?13?x123?x?1?2?1 9?12,?x?0,★21．设f?x????x2?2x,??3x?6,求limf?x?及limf?x?。

x???x???x?0x?0，讨论x?0及x?2时，f?x?的极限是否存在，并且

0?x?22?x知识点：左右极限与原极限关系 思路：分段点极限要左右极限分别求 证明：lim?f?x??lim?x?2x?21???，lim?f?x??lim?x2?2x?0，故limf?x?不存在； 2x?0x?0x?0x?0x?0xlim?f?x??lim?x2?2x?0，lim?f?x??lim?3x?6?0，故limf?x??0；

x?2x?2x?2x???limf?x??limx???1?0，limf?x??lim3x?6???；

x???x???x2

★22．计算下列极限：

3x2?52x1?tanx?1?sinxsin；（1）lim2sinn?x?0?；（2）lim（3）limx??5x?3n??x?0x2x?1?cosx?n知识点：极限求法；

思路：求极限时，当某一因式是有根号差的形式时，注意分式有理化；用等价代换求极限。

x????nxn2解：（1）lim2sinn?lim?sin??x?1?x?x；

xn??n??2???n?2??25sin3?3x2?523x2?5x?2?limx2?1?2?6 sin?lim2（2）lim?x??5x?3x??3xx??5x?3x255?xx1?tanx?1?sinx（3）lim

x?0x?1?cosx?优质参考文档

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?limx?0tanx?sinxx?1?cosx??1?tanx?1?sinx?（分子有理化）

tanx?1?cosx?11tanx1?lim?lim?

x?0x?02x?1?cosx?2x2★★23．计算下列极限：

ln?a?x??ln?a?x??2lna?1?tanx?x2（1）lim；（2）lim??x?01?sinxx?0x2??知识点：重要极限lim?1?x??e。

x?01x1

思路：利用已知极限lim?1?x??e求解。

x?0a1??222?x2?(?a2)1?a?x?ln?a?x??ln?a?x??2lna??1?x??limln?limln解：（1）lim= ????2222??x?0x?0x?0xx?a??a?????21x2?1??x?lim??2?ln??1?a2x?0a????????x2a2??11lne??a2a213

1??1?tanx??x?tanx?sinx?x3（2）原式?lim?1?? ?1???lim?1??x?0x?01?sinx????1?sinx???tanx?sinx??lim?1?，

?x?01?sinx??tanx?sinx1sinx?1?cosx?1?3?lim?3因为limx?0x?0?1?sinx?cosxx1?sinxxsinx1?cosxx2/21?lim??lim2?， x?0x?0xx2x2所以原式?★★★24．设x11?sinxtanx?sinx1??tanx?sinx1?sinxx3

e12

?1，xn?1?1?xn?n?1,2,??，求limxn。

n??1?xn知识点：单调有界数列必有极限。

思路：先证明数列单调（可用归纳法），且有界，然后知必有极限，可设极限为A，再求出A。 解：x2?1?xn?xn?113?，则0?x1?x2，假设0?xn?1?xn，则 22?xn?1??xn?xn?1?xn?????1??1???1?x??1?x??1?x??1?x??0，即0?xn?xn?1， n?1?n?nn?1???xn?1，可知本数列是单调增加的；

由数学归纳法，任意n?N，有xn又由xn?1等式xn?1?1?xn1?2??2，知本数列有界，所以极限必存在，设limxn?a

n??1?xn1?xn?1?xn1?xn两边取极限得：limn??xn?1?lim(1?n??xna)?a?1?，解得

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