内容发布更新时间 : 2024/10/18 22:24:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五章 稳定性分析

5—1 解：

（1） 系统的特征方程为1?2?0?s2?s?2?0。

s(s?1)因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S平面的左半面，所以此系统稳定。

（2） 系统的特征方程为1?3?0?s2?s?3?0。

s(s?1)因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。

（注：BIBO稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S平面的左半平面。若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。） 5—2 解： （1）?又?特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；

三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（20?10?1?50），满足稳

定的充分条件。

∴ 该控制系统稳定。 （2）? ?表如下： S4

特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；

特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh1 3 9 52

1 5 9 1?3?5?1??2 11 S0 ?2?5?1?9?9.5 ?2S0 9 Routh表中第一列元素出现负号，所以系统不稳定。并且其符号变化两次，故系统有两个特征根在S平面的右半部。

（3）?又?特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；

三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（20?8?1?300），不满足

S3 S2 稳定的充分条件。

∴ 该控制系统不稳定。 （4）?特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；

列写Routh表如下： S6 1 4 10 12 5 S6 (3) 6 (3) 14 (7) S4 12 3?4?1?33?10?1?723?3 ? 333S3 3?7?3?1223??5 3?3?3?33??14 332 S 1423???3?512 33?4.45 14?31 S 14?4.45?5??123?7.58 4.450 S12 结论：表中第一列元素出现负数，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。

53

（5）?特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；

列写Routh表如下： S5 1 24 23 4 S2 （1） 48 （24） 46 （23） S3 0 （1） 0 （12） S2 23 1?24?1?12?12 1S1 12?12?1?23121? 1212S0 23 结论：表中第一列元素出现零元素，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。

由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程

k?4,s4?24s2?23?0?4s3?48s?0?s3?12s?0

利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。 5—3 解：

（1）系统开环极点为-1、-2、-3，均在S平面的右半平面，所以开环系统稳定；

闭环系统的特征方程为

1?20?0?s3?6s2?11s?26?0

(s?1)(s?2)(s?3)特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。

（2）系统开环极点为0、-1、-2、-3，有一个在原点处，所以开环系统不稳定；

闭环系统的特征方程为

1?20?0?s4?6s3?11s2?6s?20?0

s(s?1)(s?2)(s?3)特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件； 列写Routh表 S4 1 11 20

54

6 （1） 6 （1） 1?11?1?120 （2） ?10 （1） 11 S0 1?1?1?2??1 1S0 2 结论：表中第一列元素出现负号，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定，根据第一列元素符号变化情况，有2个特征根在S平面的右半平面，其它2个在S平面的左半平面。

（3）系统开环极点为0、1、-5，其中一个在原点处，一个在右半平面，所以开环系统不稳定；

闭环系统的特征方程为

1?10(s?1)?0?s3?4s2?5s?10?0

s(s?1)(s?5)S3 S2 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。

（4）系统开环极点为0、1、-3/2，其中一个在原点处，一个在右半平面，所以开环系统不稳定；

闭环系统的特征方程为

1?10?0?2s3?s2?3s?10?0

s(s?1)(2s?3)特征方程的系数不全大于零，不满足系统稳定的必要条件，所以，系统不稳定。若列写Routh表可以确定根的分布。

开环系统稳定与否是由系统开环极点的位置确定；而闭环系统稳定与否是由系统闭环极点的位置（或特征根的位置）确定。所以，开环系统稳定，闭环系统不一定稳定；开环系统不稳定，闭环系统也不一定不稳定。 5—4 解：

（1） 系统稳定的必要条件是K?0；

195系统稳定的充分条件是30?650?700K?K?；

755

所以系统稳定的充分必要条件是0?K?

195。 7?K?0（2） 系统稳定的必要条件是??K?0；

?K?3?0系统稳定的充分条件是

5K(K?3)?7?K2?3K?1.4?0?(K?0.41)(K?3.41)?0?K?0.41?0?K?0.41?0??或??K?3.41?0?K?3.41?0由?

?K?0.41?0得：

?K?3.41?0?K?0.41?K?0.41 ??K??3.41?K?0.41?K??3.41 ?K??3.41??K?0.41?0由?得：

K?3.41?0?

所以系统稳定的充分必要条件是K?0.41。 5—5 解：

（1） 系统的特征方程为1?K?0?s3?11s2?24s?K?0

s(s?3)(s?8) 系统稳定的必要条件是K?0；

系统稳定的充分条件是11?24?K?K?264； 所以系统稳定的充分必要条件是0?K?264。

（2）若希望系统的特征根具有稳定裕量?1?1，则表示特征根不但在S平面的左半平面，且距虚轴有一个单位。

设s?v?1，做坐标变换。得(v?1)3?11(v?1)2?24(v?1)?K?0

v3?8v2?5v?14?K?0

系统稳定的必要条件是K?14?0?K?14；

56