内容发布更新时间 : 2024/6/3 18:38:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题11

11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q1?1.8?10C，B点上有电荷

?9q2??4.8?10?9C，试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。

解：q1在C点产生的场强：

E1?q14??0r2ACi，

q2E2?j24??0rBCq2在C点产生的场强：，

44∴C点的电场强度：E?E1?E2?2.7?10i?1.8?10j；

224VC点的合场强：E?E1?E2?3.24?10m，

1.8??arctan?33.7?3342'2.7方向如图：。

j?i

?911-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

解：∵棒长为l?2?r?d?3.12m，

Rl∴电荷线密度：

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：

??q?1.0?10?9C?m?1O??2cmxdEOx??14??0??Rd?R2cos?，

∴

解法2：直接利用点电荷场强公式：

EO??cos?d???????d?2sin???2??4??0R4??0R4??0R2?0.72V?m?1；

?11由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10C，

2.0?10?11EO??9.0?10??0.72V?m?1224??0R(0.5)则圆心处场强：。

q?9方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之

一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。 解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：

???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0??E??(sin??sin?)Ay?4??0R2有：? ②对于半无限长导线B?在O点的场强： ???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0??E??(cos??cos?)By?4??0R2有：?

③对于AB圆弧在O点的场强：有：

xEy?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??0R4??0R2????E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?

???EOx?EOy?EO?(i?j)4??0R，4??0R，得：4??0R∴总场强：。

22E?EOx?EOy?或写成场强：

2?4??0R，方向45。

11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处

O点的场强E。

dqdE?24??R0解：电荷元dq产生的场为：；

根据对称性有：

Ydq?dE??y?0，则：

?0d?oE??dEx??dEsin????Rsin?d???4??0R22??0R，

R?dEX?i2??R0方向沿x轴正向。即：。

11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 ???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴 为

E?所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。

dE?解：如图，

?0sin?d??dl?4??0R24??0R，

??dEx?dEcos????dEy?dEsin?考虑到对称性，有：Ex?0；

2?0?0??0sin?d??(1?cos2?)d?E??dEy??dEsin?????04??0R4??0R?028?0R， ∴

方向沿y轴负向。

11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：dq?2?r?dl。

dE?利用例11-3结论，有：

xdq4??0(x?r)2322???2?rxdl4??0(x?r) 2322dE?∴

??2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)?(Rcos?)]2232r，

?Ox?E?2?0化简计算得：

??201??sin2?d??E?i24?0，∴4?0。

11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面， 当

x?dE?dS?2E??S?S12时，由和?q?2x??S，

E?有：当

?x?0；

?d2?d2?0Ex?dE?dS?2E??S2时，由?S2和?q?2d??S，

?dE?2?0。图像见右。 有：

11-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.

O?d2x?d2?0解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd?

d2?R2， ∴球冠面的面积：

S??2?rsin??rd??2?rcos?0?20dcos??rO

rd??rsin?xd?2?r2(1?)r】

∵球面面积为：

S球面?4?r，通过闭合球面的电通量为：

?球冠?2?闭合球面?q?0，

?球冠由：?球面S球冠，∴

11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。

?S球面1dqqd(1?)??(1?)222r?02?0R?d。

解：由高斯定律

??SE?dS?1?0?qS内i，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。

?r??r2lE?2?rl?E?2?0； ?0，有（1）当r?R时，

??R2l?R22?rl?E?E??2?0r； 0（2）当r?R时，，则：

??r?2?(r?R)?0E??2?R?(r?R)??2?0r即：；

图见右。

E?R2?0oRr11-10．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 解：利用高斯定律：

??SE?dS?1?0?qS内i。

（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：

2?rlE2??l?E2??0，则：2??0r；

（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；

?E?0????E??E?r2??0r??E?0?即：

r?R1R1?r?R2r?R2。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，如图所示。求：

（1）在球形空腔内，球心O?处的电场强度E0；

（2）在球体内P点处的电场强度E，设O?、O、P三点在同一直径上，且OP?d。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为?的大球和带有电荷体密度为??的小球的合成。

（1）以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：

?43?d??dE?0?S?033?0，方向从O指向O?； ?（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：

E?dS?1?43?d??dE?P1?S?033?0，方向从O指向P， ?过P点以O?为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有：

E?dS?1?43?r3?SE?dS???0?3?r?EP2??3?0d2，

?r3E?EP1?EP2?(d?2)3?04d，方向从O指向P。 ∴

2

11-12．设真空中静电场E的分布为E?cxi，式中c为常量，求空间电荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， z有：

??SE?dS?cx0??S

由高斯定理：

??SE?dS?1?0?qS内o，

?S设空间电荷的密度为?(x)，有：∴

cx0???S?x0y?(x)?Sdx?0

x0x0?x00?(x)dx???0cdx0x0，可见?(x)为常数????0c。

11-13．如图所示，一锥顶角为?的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为?，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)

解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，

如图示，易知，环面圆半径为：

r?xtan?2，环面圆宽：

dl?dxcos?2

?dxdS?2?r?dl?2??xtan?2cos?2，

利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式：

U环?14??0?q2r2?x0，

dl?dxcos?22cos?12???tan?dxdU??4??02?02?(xtan)2?x22有：，

??x1?R1cotx2?R2cot2，2， 考虑到圆台上底的坐标为：

∴U??2??xtan??dxrx?x2x1????R2cot??(R2?R1)?tandx??tan??2dx?2?022?02R1cot22?0。