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习题答案4

p. 202 习题5.1

?1. 设可允许的参数变换u??u?(v1,v2)是保持定向的，即det?a???0，其中

?u????，a??. 用g??,b??表示曲面S在参数系(u1,u2)下的第一、第二类基本量，用g?v?表示曲面S在参数系(v1,v2)下的第一、第二类基本量. 证明： b??????????ba????g??a?. ga?， b??????a?证明. (1) 因为du??a?dv?，所以在可允许参数变换下，

???????dv?dv??I?g??du?du??g??(a?gdv?)(a?dv?)?(g??a?a?)dv?dv?.

??????g??a?上式两边作为dv1,dv2的二次型相等，所以ga?.

??(2) 设S的方程为r?r(u1,u2). 令

?12?112212?(v,v)?r?u(v,v),u(v,v)?. r??????a?则有rr?. 于是

????????1221?????r?r?(ar)?(ar)?(aa?aa)r?r?det(a)r?r121?2?121212?12.

?因为det?a???0，这说明在两个参数系下，有

?12??(v,v)?n?u1(v1,v2),u2(v1,v2)?. n于是

?????dv?dv???dr??dn???(dr?dn)?b??du?du?b???b??(adv)(adv)?(b??aa)dvdv.????????????

??ba?a?. □ 和(1)中一样，可得b??????14. 验证：曲面S的平均曲率H可以表示成H?b??g??，并且证明H在第1题

2的参数变换下是不变的.

证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义，

2g?det?g????g11g22?g12,g11?g22gg,g12??12?g12,g22?11. ggg因此 H?b11g2?22b1g2?12bg22111?g?b11g2?22b1g2?12b?2 21122g2?g11g2?g?212111??b11g11?2b12g12?b22g22???b11g11?b12g12?b21g21?b22g22??b??g??. 222 1

证法二：运用Weingarten变换W. 由定义，

????W(r?)??n??b?r?.

???所以(b?)是Weingarten变换W在切空间的基{r1,r2}下的矩阵. 它的两个特征值?1,?2，也就是主曲率，满足

?12??1??2?trace(b?)?b1?b2?b??b??g???b??g??.

所以

H??1??22?1?b??g??. 2?12?v?????. 则(a?(2) 在第1题的参数变换下，令v?v(u,u)为逆变换，a)与

?u???(a)互为逆矩阵. 故有

???????????????，a. (1) a?aa????在第1题中已经证明了

??????g??a?ga?. (2)

所以有

????????g????g??a??. ???ga?g???用a乘上式两端，并对指标?求和，利用(1)式可得

??????????????????????g?????a???g??a??. a?a???g??aa?a?ggg再用g??乘上式两端，并对指标?求和，可得

????????????????a????. g??a?g??g??a?ga?g?g???最后用a乘上式两端，并对指标?求和，利用(1)式可得

????????????????a????????g???， agaa?gg即有

????????a????g. (3) ga??ba?a?得到 于是由b?????????????????????g????b??a???a??g?b??(a???)(a???)g???b????ba?aaa??g?b??g??. ??所以H在第1题的参数变换下是不变的. □

注. 如果采用矩阵记号，令

???(g???)，T?(a?G?(g??)，G).

??TGTT，(3)就是G??1??TT??1G?1T?1. 则(2)就是G5. 证明下列恒等式：

?g???g???g??????g??g?(1) g??g????； (2) ????????； ???u?u?u?????????? 2

??(3) ???1?lng2g?gg?g，其中. ??112212?2?u?证明. (1) 因为g??g?????，对u?求偏导数，得

?g???g????g?g?0. ?????u?u因此

?g???g?????g????g??g???????????????????g??????. ???u?u用g??乘上式两边，再对?求和，得

?g??????????????g??????g??g????????g???????g?????g????g???. ??u这就是(1).

(2) 由

?g???u??????????，

可得

???????????，g??????????

左边???????????????????????????????右边.

(3) 左边为

?????g?????????1???g2??1???g2????g???g???g???????????u?u???u?g???g???g??????? ?g?g?????u?u?u??g???g???g???1???g???????g.?g?g?????2?u?u?u?u?1??g2右边为

2??gg?g??1?lng1?g1?112212???????2?u2g?u2g?u ?1??g11?g22?g12?g21?g?g?g?g??1121122g?22?u??u??u??u??

111?g111???g??22?g2212?g1221?g21????g.?g?g?g?g??????2??u?u?u?u?u?2所以(3)成立. □ p. 212 习题5.3

4. 设S有2个不相等的常数主曲率. 证明：S是圆柱面的一部分.

证明. 设S的2个常数主曲率为?1,?2. 因为?1??2，所以S上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得

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