内容发布更新时间 : 2024/12/29 7:21:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题4.6 正弦定理和余弦定理

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知识点一 正弦定理和余弦定理

1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2公式 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； 常见 变形 abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab111abc1

2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算

2224R2R，r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 a≤b 无解 知识点二 三角函数关系和射影定理

1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

A＋BA＋BCC(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.

22222.三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sin A> sin B?cos A

考点一 利用正、余弦定理解三角形

【典例1】 【2019年高考浙江卷】在△ABC中，?ABC?90?，AB?4，BC?3，点D在线段AC上，若?BDC?45?，则BD?___________，cos?ABD?___________．

【答案】12272 ，

510【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：

ABBD3π, ?，而AB?4,?ADB?sin?ADBsin?BAC4AC=AB2+BC2=5，sin?BAC?BC3AB4122. ?,cos?BAC??，所以BD?AC5AC55ππ72. cos?ABD?cos(?BDC??BAC)?coscos?BAC?sinsin?BAC?4410

C5

【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )

25A．42 C.29 【答案】A

C5

【解析】∵cos＝，

25

C?5?2－1＝－3. ∴cos C＝2cos2－1＝2×25?5?

B.30 D．25

?－3?＝32， 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×?5?∴AB＝42.

π

B－?. 【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos??6?①求角B的大小；

②设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． ab

【解析】①在△ABC中，由正弦定理＝，

sin Asin B可得bsin A＝asin B.

ππB－?，得asin B＝acos?B－?， 又由bsin A＝acos??6??6?π

B－?，可得tan B＝3. 即sin B＝cos??6?π

又因为B∈(0，π)，所以B＝. 3

π

②在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

3得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7. π3B－?，可得sin A＝. 由bsin A＝acos??6?7因为a＜c，所以cos A＝

2

. 7

431

因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝. 77所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ＝

4311333

×－×＝. 727214

【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧

1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。

考点二 判断三角形的形状

【典例2】（福建省永安市第一中学2018-2019学年月考）在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，

cos2Ab?c?，则?ABC的形状为（ ） 22c