内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:03:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
csin Asin(120°-C)31
由正弦定理得a===+.
sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形,故0° 所以 282因此,△ABC面积的取值范围是? [解题方略] 三角形面积公式的应用原则 111 (1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用含该角 222的公式. (2)与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化. 1 三角形面积公式还可用其它几何量表示S=(a+b+c)r,其中a+b+c为三角形的周长, 2r为三角形内切圆的半径. 题型三 正、余弦定理的实际应用 [例4] 甲船从位于海岛B正南10海里的A处,以4海里/时的速度向海岛B行驶,同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶,当两船相距最近时,两船行驶的时间为________小时. [解析] 如图,设经过x小时后,甲船行驶到D处,乙船行驶到C处,则AD=4x,BC=6x,则BD=10-4x,由余弦定理得,CD2=(10-4x)2+(6x)2-2×(10-4x)×6xcos 120°=28x2-20x+100=28 33? . ,2??8 ?x-5?+675.若甲船行驶2.5小时,则甲船?14?7 6751521 =,77 2 5 到达海岛B,因而若x<2.5,则当x=时距离最小,且最小距离为 14 15215 若x≥2.5,则BC≥6×2.5=15>,因而当两船相距最近时,两船行驶的时间为小时. 714 [答案] [解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤 5 14 [跟踪训练] 1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B1b =4csin C,cos A=-,则=( ) 4c A.6 C.4 B.5 D.3 解析:选A ∵ asin A-bsin B=4csin C,∴ 由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2+c2-a2b2+c2-(4c2+b2)-3c21b b.由余弦定理得cos A====-,∴ =6.故选A. 2bc2bc2bc4c 2 π 2.(2019·河南期末改编)在△ABC中,B=,AC=3,且cos2C-cos2A-sin2B=-2sin 3Bsin C,则C=________,BC=________. 解析:由cos2C-cos2A-sin2B=-2sin Bsin C,可得1-sin2C-(1-sin2A)-sin2B=-2sin Bsin C,即sin2A-sin2C-sin2B=-2sin Bsin C.结合正弦定理得BC2-AB2-AC2=-2·AC·AB,所以cos A=5π答案: 12 2 π5π2ACBC,A=,则C=π-A-B=.由=,解得BC=2. 2412sin Bsin A3.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B). (1)求角C; 33 (2)若c=7,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 2解:(1)由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b), 即a2+b2-c2=ab. a2+b2-c21π 所以cos C==,又C∈(0,π),所以C=. 2ab23(2)由(1)知a2+b2-c2=ab,所以(a+b)2-3ab=c2=7, 1333又S=absin C=ab=, 242所以ab=6, 所以(a+b)2=7+3ab=25,a+b=5. 所以△ABC的周长为a+b+c=5+7. 考点三 解三角形与三角函数的交汇问题 [例5] 如图,在△ABC中,三个内角B,A,C成等差数列,且AC=10,BC=15. (1)求△ABC的面积; (2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0),若函数f(x)=Msin(ωx+π φ)?M>0,ω>0,|φ| 2?? 个交点,求f(x)的解析式. [解] (1)在△ABC中,由角B,A,C成等差数列,得B+C=2A, 又A+B+C=π,所以A= π . 3 设角A,B,C的对边分别为a,b,c, 由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos π, 3 所以c2-10c-125=0,解得c=AB=5+56. 因为CO=10×sin π =53, 3 125 所以S△ABC=×(5+56)×53=(32+3). 22(2)因为AO=10×cos π =5, 3 所以函数f(x)的最小正周期T=2×(10+5)=30, π故ω=. 15 π 因为f(-5)=Msin?×(-5)+φ?=0, ?15? ππ 所以sin?-+φ?=0,所以-+φ=kπ,k∈Z. 3?3?因为|φ|< ππ ,所以φ=. 23 π =53,所以M=10, 3 因为f(0)=Msin ππ 所以f(x)=10sin?x+?. ?153? [解题方略] 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤 [跟踪训练] (2019·湖南省五市十校联考)已知向量m=(cos x,sin x),n=(cos x,3cos x),x∈R,1 设函数f(x)=m·n+. 2 (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间; (2)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若f(A)=2,b+c=22,△ABC1 的面积为,求a的值. 2 π1 解:(1)由题意知,f(x)=cos2x+3sin xcos x+=sin?2x+?+1. 26??令2x+ π?ππππ ∈-+2kπ,+2kπ?,k∈Z,解得x∈?-+kπ,+kπ?,k∈Z, 6?226??3? ππ ∴函数f(x)的单调递增区间为?-+kπ,+kπ?,k∈Z. 6?3?π (2)∵f(A)=sin?2A+?+1=2, 6??π ∴sin?2A+?=1. 6?? ππ13π ∵0<A<π,∴<2A+<, 666πππ ∴2A+=,即A=. 626 11 由△ABC的面积S=bcsin A=,得bc=2, 22 又b+c=22,∴a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A)=(22)2-4?1+ ? 3?=2? 4-23=(3-1)2, 解得a=3-1. 数学建模——解三角形的实际应用 [典例] 为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹 射实验,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地2 晚 s,在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°. 17 (1)求A,C两地间的距离; (2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s) 2 [解] (1)设BC=x m,由条件可知AC=x+×340=(x+40)m. 17在△ABC中,由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC, 1 即x2=1002+(x+40)2-2×100×(x+40)×, 2解得x=380. 所以AC=380+40=420(m), 故A,C两地间的距离为420 m. (2)在Rt△ACH中,AC=420,∠HAC=30°, 所以HC=ACtan 30°=420× 3=1403, 3 故这种仪器的垂直弹射高度为1403 m. [素养通路] 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决