内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:08:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为43，且b，a，c成等差数列，求△ABC的内切圆的半径. 解：(1)由asin Acos C＋csin Acos A－3bcos A＝0，可知sin A(sin Acos C＋cos Asin C)＝3sin Bcos A，∴sin Asin(A＋C)＝3sin Bcos A，∵sin(A＋C)＝sin B，∴sin Asin B＝3sin π
Bcos A，∵sin B≠0，∴sin A＝3cos A，∴tan A＝3，又∵A∈(0，π)，∴A＝.
3
113
(2)由题意可知S△ABC＝bcsin A＝bc×＝43，∴bc＝16，又a2＝b2＋c2－2bccos A，
222∴a2＝(b＋c)2－3bc，又∵b，a，c成等差数列，∴a2＝4a2－48，∴a＝4，b＋c＝2a＝8，∴11
△ABC的周长为a＋b＋c＝12，设△ABC内切圆的半径为r，则r·(a＋b＋c)＝S△ABC，即r
2223×12＝43，∴r＝.
3
3.(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－3sin Asin C.
(1)求B的大小；
(2)求sin A＋cos C的取值范围.
解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－3sin Asin C， 故b2＝a2＋c2－3ac，
a2＋c2－b2π3cos B＝＝，又B∈?0，?，
2ac22??π
所以B＝.
6
5π
(2)由(1)知，C＝－A，
6故sin A＋cos C＝sin A＋cos?
5ππ33
－A?＝sin A－cos A＝3sin?A－?.
26??6?2?
5πππ
又A∈?0，?，C＝－A∈?0，?，
62?2???ππ
所以A∈?，?，
?32?ππππ13A－∈?，?，sin?A－?∈?，?，
6?63?6??22??故sin A＋cos C的取值范围为?
33?.
?2，2?4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝23，BD＝3＋6，△BCD的
3（2＋3）
面积S＝.
2
(1)求CD；(2)求∠ABC.
3（2＋3）1
解：(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，
22∵BC＝23，BD＝3＋6， 1
∴sin∠CBD＝.
2
∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(23)2＋(3＋6)2
－2×23×(3＋6)×
∴CD＝3.
BCCD
(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，
sin∠BDCsin∠CBD即
2333＝，解得sin∠BDC＝.
3sin∠BDCsin 30°
6
. 33
＝9， 2
∵BC＜BD，∴∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝在△ACD中，由正弦定理得∴
AC
ACCD
＝，
sin∠ADCsin∠CAD
CD＝
πsin∠CAD??sin＋∠BDC?2?AC3
＝.①
cos∠BDCsin∠CAD
ACBC
＝，
sin∠ABCsin∠BAC
即
在△ABC中，由正弦定理得即
AC23＝.②
sin∠ABCsin∠BAC
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.
sin∠ABC3
由①②得＝，解得sin∠ABC＝错误!.
cos∠BDC23∴∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.
[技法指导——迁移搭桥] 1.常用的变角技巧 (1)已知角与特殊角的变换； (2)已知角与目标角的变换； (3)角与其倍角的变换； (4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如：[思维流程——找突破口] α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·2.常用的变式技巧 主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有： (1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数 来讨论； (2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－2，2]，将原问题转化为关于t的函数来处理； (3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等. π
[典例] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos?B－?.
6??(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. [快审题] 求什么 想什么 给什么 用什么 差什么 找什么 [稳解题] (1)在△ABC中，
求三角函数值，想到由已知三角函数值求值. 已知边角关系式，用正弦定理统一角. 已知边的大小，用余弦定理求边. 求sin(2A－B)的值，缺少2A的三角函数值， 应找A的三角函数值. 求角B的大小，想到角B的三角函数值. α＋βα＋β?β?α?，＝?α－2??－?2－β?. 22
ab
由正弦定理＝，
sin Asin B可得bsin A＝asin B. π
又因为bsin A＝acos?B－?，
6??π
所以asin B＝acos?B－?，
6??即sin B＝31cos B＋sin B， 22
所以tan B＝3.
因为B∈(0，π)，所以B＝
π
. 3
π
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
3得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7. π3由bsin A＝acos?B－?，可得sin A＝ .
6??7因为a＜c，所以cos A＝2
. 7
43所以sin 2A＝2sin Acos A＝，
71
cos 2A＝2cos2A－1＝.
7
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ＝
[题后悟道]
1.利用正、余弦定理求解问题的策略 4311333×－×＝. 727214
2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”
升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”.