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高三数学概念、方法、题型、易误点总结（八）

班级 姓名

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆

的是 A．PF1?PF2?4 B．PF1?PF2?6 C．PF1?PF2?10 D．PF12?PF22?12 （2）方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____ （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点Q(2___

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2?acos?（参数方程，其（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）?xy?bsin?aby2x2中?为参数），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆的充

ab2,0)及抛物线

x2y?4上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是__

?要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

x2y2如（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____

3?k2?k（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___

x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。

abab方程Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

如（1）双曲线的离心率等于

x2y25，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的294方程_______

（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为_______

1

（3）抛物线：开口向右时y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2如已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_

m?12?m_

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2?b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦

ab点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个a2顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤

cc离心率：e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

ax2y2如（1）若椭圆??1的离心率e?10，则m的值是_ _ 55m（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆

长轴的最小值为_

x2y2（2）双曲线（以2?2?1（a?0,b?0）为例）：①范围：x??a或x?a,y?R；②

ab焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两

个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，

2a称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心

cc率：e?，双曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口

ab越大；⑥两条渐近线：y??x。

a如（1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______

（2）双曲线ax2?by2?1的离心率为5，则a:b=

x2y2（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹

ab角θ的取值范围是________

2

（3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：②焦点：一个焦点(,0)，x?0,y?R；其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??； ⑤离心率：抛物线?e?1。 e?，

如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________

x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：

ab22x0y0（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；

ab22x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；

ab22x0y0（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1

abp2p2ca6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______；

x2y2（2）直线y―kx―1=0与椭圆??1恒有公共点，则m的取值范围是_______

5mx2y2（3）过双曲线??1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，

12则这样的直线有_____条

（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；

（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

x2y2（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况

ab如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直

线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；

3

（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y2?8x只有一个公共点，这样的直线有______

x2y2（2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916______

（3）对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y02?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部， 若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______

（4）过抛物线y2?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长 分别是p、q，则?1p1?_______ qx2y2（5）设双曲线??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支

169和

右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________

（6）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离

（7）直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分 别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r?ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x2y2如（1）已知椭圆??1上一点

2516P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线

的距离为____

（2）已知抛物线方程为y2?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____ （4）点P

x2y2在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则

259点P

的横坐标为_______

（5）抛物线y2?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______

x2y2（6）椭圆??1内有一点P(1,?1)，F

43为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP?2MF

之值最小，则点M的坐标为_______

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的

x2y22b2距离分别为r1,r2，焦点?F1PF2的面积为S，则在椭圆2?2?1中， ①?＝arccos(?1)，

abr1r24

b2?c2?且当r1?r2即P为短轴端点时，?最大为?max＝arccos2；②S?b2tan?c|y0|，当

a2x2y2|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线2?2?1的焦点三角形有：

ab?2b2?1?2?①??arccos?；②。 1?S?rrsin??bcot12??22r1r2??如（1）短轴长为5，离心率e?2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆

3于A、B两点，则?ABF2的周长为________

（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 x2y2→2 ·PF→1 <0时，（3）椭圆??1的焦点为F、F，点P为椭圆上的动点，当PF

941

2

点P的横坐标的取值范围是

6，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的2直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

__________

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60?，S?PFF?123．求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴

的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、

12B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝

1?12y?y1?ky1?y2。特别地，，若弦AB所在直线方程设为，则＝x?ky?bAB122k焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______

（2）过抛物线y2?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”

b2x0x2y2求解。在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双

abay0b2x0x2y2曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线

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