内容发布更新时间 : 2024/9/12 21:51:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题五 立体几何第2讲 点、直线、平面之间的位置关系
真题试做
1.(2012·四川高考,文6)下列命题正确的是( ).
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
2.(2012·浙江高考,文5)设l是直线,α,β是两个不同的平面,( ). A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
3.(2012·大纲全国高考,文16)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________.
4.(2012·安徽高考,文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则__________(写出所有正确结论的编号).
①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
5.(2012·江苏高考,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直线A1F∥平面ADE. 考向分析
从近几年的高考试题来看,在本讲中所涉及的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断.试题以选择题的形式出现,通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面平行与垂直的证明.试题以解答题为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;(3)有关面面平行与垂直的证明,多以解答题的形式出现,综合性强;(4)有关折叠问题,以解答题为主,通过折叠把平面图形转化为空间几何体,更好地考查学生的空间想象能力和知识迁移能力.
预测2013年高考中,仍以某几何体为载体,重在探索和判定线线、线面和面面的位置关系,当然也可能综合考查面积及体积的计算,题目难度为中低档.
热点例析
热点一 有关线面位置关系的组合判断
【例1】若a,b是两条异面直线,α,β是两个不同平面,a?α,b?β,α∩β=l,则( ).
A.l与a,b分别相交 B.l与a,b都不相交
C.l至多与a,b中一条相交
- 1 -
D.l至少与a,b中的一条相交
规律方法 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法:
(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;
(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断;
(3)应熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、自然语言以及图形语言的相互转换. 变式训练1 如图所示,平面α⊥平面β,α∩β=直线l,A,C是α内不同的两点,B,D是β内不同的两点,且A,B,C,D?直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是( ).
A.当|CD|=2|AB|时,M,N两点不可能重合
B.M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交
C.当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l相交 D.当AB,CD是异面直线时,直线MN可能与l平行 热点二 线线、线面平行与垂直的证明
【例2】如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)证明:AA1⊥BD;
(2)证明:CC1∥平面A1BD.
规律方法 (1)线线垂直的证明方法
①相交垂直:可借助定义或平面几何知识进行证明; ②异面垂直:由线面垂直的性质定理进行证明. (2)证明线线平行的常用方法
①利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; ②利用平行四边形进行转换; ③利用三角形中位线定理证明;
④利用线面平行、面面平行的性质定理证明. (3)证明线面平行的常用方法 ①定义法;
②利用线面平行的判定定理;
③利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行. (4)证明线面垂直的常用方法
①利用直线和平面垂直的定义.此种方法利用向量证明较好;
②利用线面垂直的判定定理.此种方法要注意平面内的两条直线必须相交;
③利用线面垂直的性质.两平行线中一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面; ④利用面面垂直的性质.两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.此种方法要注意“平面内的直线”;
⑤利用面面垂直的性质.两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面;
⑥利用面面平行的性质.一条直线垂直于两平行平面中的一个,必垂直于另一个平面. 变式训练2 (2012·安徽高考,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点,
- 2 -
(1)证明:BD⊥EC1;
(2)如果AB=2,AE=2,OE⊥EC1,求AA1的长. 热点三 面面平行与垂直的证明
【例3】(2012·合肥八中冲刺卷,文17)已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2,AB=1,E,F分别是线段AB,BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)在线段PA上找一点G,使得EG∥平面PFD; (3)若PA=AF,求点C到平面PFD的距离. 规律方法 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合; ②利用面面平行的判定定理; ③利用两个平面垂直于同一直线;
④证明两个平面同时平行于第三个平面. (2)证明面面垂直的方法
①证明一个平面经过另一个平面的垂线,一般先在现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则应借助中点、高线等添加辅助线解决;
②利用面面垂直的定义.新课标对此要求较低.
变式训练3 如图,已知在三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
求证:(1)DM∥平面APC; (2)平面ABC⊥平面APC. 热点四 折叠问题
π
【例4】如图,在△ABC中,∠B=,AB=BC=2,P为AB边上一动点,PD∥BC交AC于
2
点D,现将△PDA沿PD翻折至△PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD.
- 3 -