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专题五 立体几何第2讲 点、直线、平面之间的位置关系

真题试做

1．(2012·四川高考，文6)下列命题正确的是( )．

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2．(2012·浙江高考，文5)设l是直线，α，β是两个不同的平面，( )． A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

3．(2012·大纲全国高考，文16)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．

4．(2012·安徽高考，文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则__________(写出所有正确结论的编号)．

①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

5．(2012·江苏高考，16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 考向分析

从近几年的高考试题来看，在本讲中所涉及的主要内容是：(1)有关线面位置关系的组合判断．试题以选择题的形式出现，通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质；(2)有关线线、线面平行与垂直的证明．试题以解答题为主，常以多面体为载体，突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力；(3)有关面面平行与垂直的证明，多以解答题的形式出现，综合性强；(4)有关折叠问题，以解答题为主，通过折叠把平面图形转化为空间几何体，更好地考查学生的空间想象能力和知识迁移能力．

预测2013年高考中，仍以某几何体为载体，重在探索和判定线线、线面和面面的位置关系，当然也可能综合考查面积及体积的计算，题目难度为中低档．

热点例析

热点一 有关线面位置关系的组合判断

【例1】若a，b是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a?α，b?β，α∩β＝l，则( )．

A．l与a，b分别相交 B．l与a，b都不相交

C．l至多与a，b中一条相交

- 1 -

D．l至少与a，b中的一条相交

规律方法 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：

(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断；

(3)应熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、自然语言以及图形语言的相互转换． 变式训练1 如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )．

A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合

B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 热点二 线线、线面平行与垂直的证明

【例2】如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

(1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD.

规律方法 (1)线线垂直的证明方法

①相交垂直：可借助定义或平面几何知识进行证明； ②异面垂直：由线面垂直的性质定理进行证明． (2)证明线线平行的常用方法

①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； ②利用平行四边形进行转换； ③利用三角形中位线定理证明；

④利用线面平行、面面平行的性质定理证明． (3)证明线面平行的常用方法 ①定义法；

②利用线面平行的判定定理；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行． (4)证明线面垂直的常用方法

①利用直线和平面垂直的定义．此种方法利用向量证明较好；

②利用线面垂直的判定定理．此种方法要注意平面内的两条直线必须相交；

③利用线面垂直的性质．两平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面； ④利用面面垂直的性质．两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．此种方法要注意“平面内的直线”；

⑤利用面面垂直的性质．两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面；

⑥利用面面平行的性质．一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个平面． 变式训练2 (2012·安徽高考，文19)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点，

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(1)证明：BD⊥EC1；

(2)如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长． 热点三 面面平行与垂直的证明

【例3】(2012·合肥八中冲刺卷，文17)已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是线段AB，BC的中点．

(1)证明：PF⊥FD；

(2)在线段PA上找一点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PA＝AF，求点C到平面PFD的距离． 规律方法 (1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面． (2)证明面面垂直的方法

①证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般先在现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则应借助中点、高线等添加辅助线解决；

②利用面面垂直的定义．新课标对此要求较低．

变式训练3 如图，已知在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

求证：(1)DM∥平面APC； (2)平面ABC⊥平面APC. 热点四 折叠问题

π

【例4】如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于

2

点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.

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