高中数学选修12第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/6/16 16:17:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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1.2

一、教学目标

类比推理

1. 知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义;

(2)能利用类比进行简单的推理;

(3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2. 方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比的性质相似性越 多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

3. 情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、新结论;通过类 比,发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论 证成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学生学数学、用数学,完善数学的 正确数学意识。

二、教学重点: 了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。

教学难点: 培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法: 探析归纳,讲练结合 四、教学过程

(一)复习:归纳推理的概念: 根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物 都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。 注意: 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1. 归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般; 2. 典型例子方法归纳。

(二)引入新课: 据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦

?惠更斯

曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。又已 知声是由一种周期运动所引起的、 呈波动的状态, 由此,惠更斯作出推理, 光也可能有呈波动状态的属性, 从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

(三)例题探析

例 1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值” ,将空间与平面进行类比,空间中什么样的 图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗?

解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测:正四面体内一 点到四个面距离之和是一个定值。

例 2:根据平面几何的勾股定理,试类比地猜测出空间中相应的 解:平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图,在四 PAB、平面 PBC、平面 PCA两两垂直

勾股定理:斜边长的平方等于两个直角边的平方和。

类比到空间就是:△ ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。

2

即: S

ABC

2

2

2

结论。

面体 P- ABC中,平面

S

PAB

S

PBC

S

PCA

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在上述各例的推理过程中,都有共同之处:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根 据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理。

注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推 理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等) 测出某些结果的推理方式。 ( 四) 巩固练习:

练习 1 已知实数加法满足下列运算规律: (1)a b b a ;

(2) a b

c a

b c .

,推

类比实数的加法运算律,列出实数的乘法与加法相似的运算律. 练习 2 我们已经学过了等差数列 , 是否想到过等和数列 ?

(1) 类比“等差数列”给出“等和数列”定义;

(2) 探索等和数列 a 的奇数项和偶数项有什么特点;

n

练习 3 若数列 an 是等差数列,且 b

n

1

a

a2 ... a , 则 bn 也是等差数列。类比上述性质,相应地,数

n

列 c 是等比数列,且 cn

n

0 ,dn

n

*

___________ ,则 dn 也是等比数列(以上 n N )

2

2

练习 4 在 ABC 中,若 AC BC, AC b, BC a ,则 ABC 的外接圆半径

a 2

b

r

,将此结论拓展到空间,

可得出的正确结论是:在四面体 S ABC 中,若 SA、SB、SC两两互相垂直, SA a, SB b, SC c ,则四面 体S ABC 的外接球半径 R (

)

A. a

2 2 2

b 2

c

B . a

2 2 2

b 3

c

C. a

3 3 3 3

b

3

c

abc D .

3

练习 5 类比解答( 1)(2):(1)求证: tan x

4

1 tan x

1 tan x

1 f (x) , 试问: f (x) 是周期函数 1 f ( x)

(2)设 x R,a 为非零常数,且 f x a

吗?证明你的结论。

(五)小结: 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一 类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理。

注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推 理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等) 测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后 提出猜想的推理,统称为合情推理。

(六)作业: 1. 课本 P57练习:2.课本。 P57习题 3-1:4,5

,推

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五、教后反思:

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