内容发布更新时间 : 2024/12/25 17:04:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 不等式选讲
[做真题]
1.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: 111222
(1)++≤a+b+c;
abc3
(2)(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.
证明:(1)因为a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,且abc=1,故有
2
2
2
2
2
2
33
ab+bc+ca111
a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.
abcabc111222
所以++≤a+b+c.
abc(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有
3333333(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3(a+b)(b+c)(a+c) =3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac) =24.
所以(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.
2.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)<0;当x≥1时,f(x)≥0. 所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值范围是[1,+∞).
3.(2019·高考全国卷Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)+(y+1)+(z+1)的最小值;
1222
(2)若(x-2)+(y-1)+(z-a)≥成立,证明:a≤-3或a≥-1.
3解:(1)由于
[(x-1)+(y+1)+(z+1)]
=(x-1)+(y+1)+(z+1)+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)+(y+1)+(z+1)],
2
2
2
2
2
22
2
2
22
3
3
3
4511222
故由已知得(x-1)+(y+1)+(z+1)≥,当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.
33334222
所以(x-1)+(y+1)+(z+1)的最小值为.
3(2)证明:由于
[(x-2)+(y-1)+(z-a)]
=(x-2)+(y-1)+(z-a)+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)+(y-1)+(z-a)],
(2+a)
故由已知得(x-2)+(y-1)+(z-a)≥,
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
4-a1-a2a-2
当且仅当x=,y=,z=时等号成立.
333(2+a)
因此(x-2)+(y-1)+(z-a)的最小值为.
3
2
2
2
2
(2+a)1
由题设知≥,解得a≤-3或a≥-1.
33
[明考情]
1.不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等,命题的热点是绝对值不等式的求解,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.
2.此部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.
含绝对值不等式的解法
[典型例题]
(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范围. 【解】 (1)当a=1时, 2x+4,x≤-1,??
f(x)=?2,-1<x≤2,
??-2x+6,x>2.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
2
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法:对a∈R+,|x|a?x<-a或x>a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.
(3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
[对点训练]
1
1.(2019·广州市调研测试)已知函数f(x)=|x-a|(a∈R).
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(1)当a=2时,解不等式|x-|+f(x)≥1;
3
111
(2)设不等式|x-|+f(x)≤x的解集为M,若[,]?M,求实数a的取值范围.
332解:(1)当a=2时,不等式可化为|3x-1|+|x-2|≥3,
1
①当x≤时,不等式可化为1-3x+2-x≥3,解得x≤0,所以x≤0;
31
②当 33 ③当x≥2时,不等式可化为3x-1+x-2≥3,解得x≥,所以x≥2. 2综上所述,当a=2时,不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}. 1 (2)不等式|x-|+f(x)≤x可化为|3x-1|+|x-a|≤3x,依题意不等式|3x-1|+|x- 3 a|≤3x在x∈[,]上恒成立,所以3x-1+|x-a|≤3x,即|x-a|≤1,即a-1≤x≤a+1, 1314 所以,解得-≤a≤, 231 a+1≥ 2 1132 ????? a-1≤ 14故实数a的取值范围是[-,]. 23 2.(2019·长春市质量监测(二))设函数f(x)=|x+2|. (1)求不等式f(x)+f(-x)≥6的解集; (2)若不等式f(x-4)-f(x+1)>kx+m的解集为(-∞,+∞),求k+m的取值范围.