内容发布更新时间 : 2025/3/1 6:22:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

[A.基础达标]

1．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－b|的值为( ) A．1 C．23

B.3 D．32 解析：选C.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2 ＝22－2×2×2×cos 120°＋22＝12. ∴|a－b|＝12＝23. 2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 C．3

B．2 D．5

解析：选A.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1，故选A.

3．已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( ) πA. 23πC. 4

2πB. 35πD. 6

解析：选D.设a与b的夹角为θ，因为|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，

3， 2

所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos θ＝9＋63cos θ＝0，则cos θ＝－

5π

又因为θ∈[0，π]，∴θ＝，

65π

即a与b的夹角为.

6

4．对于非零向量a，b，下列命题中正确的是( ) A．a∥b?a在b方向上的投影为|a| B．a·b＝0?a＝0或b＝0 C．a⊥b?a·b＝(a·b)2 D．a·c＝b·c?a＝b

解析：选C.选项A：∵a∥b，∴θ＝0或π，所以所求投影为|a|cos θ＝±|a|； 选项B：a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b； 选项C：a⊥b?a·b＝0?a·b＝(a·b)2；

选项D：a·b＝a·c?(a－b)·c＝0?a＝b或(a－b)⊥c，故选C.

5．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则向量a与向量a＋b的夹角为( )

πA. 2πC. 6

πB. 3D．π

解析：选B.∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，

|a|＝1，|b|＝3，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，|b|ππ∵tan∠COA＝＝3，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.

|a|33

6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________.

解析：∵|a|·cos 120°＝－2， 1∴|a|·(－)＝－2，

2∴|a|＝4. 答案：4

7．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________.

解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－133×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－. 22

3

答案：－

2

1

8．已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝________.

21

解析：∵(a＋b)·(2a－3b)

21

＝|a|2＋a·b－3|b|2

21

＝16＋|a||b|cos 60°－3|b|2

2＝16＋|b|－3|b|2， 即16＋|b|－3|b|2＝12，