内容发布更新时间 : 2024/5/21 11:08:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.1.1 空间向量及其加减运算

学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.

知识点一 空间向量的概念

思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，→→则向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. (2)几类特殊的空间向量

名称 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 知识点二 空间向量的加减运算及运算律

思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.

定义及表示 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 模为1的向量称为单位向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

答案 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面→→→→→→→→

α内，以任意点O为起点作OA＝a，OB＝b，则OC＝OA＋OB＝a＋b，AB＝OB－OA＝b－a.

思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则. 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

→→→

OB＝OA＋AB＝a＋b， →→→

CA＝OA－OC＝a－b. (2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a，

空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，→―→

则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；④若空间向量m，n，p满足m＝n，

n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b→

满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC―→

＝A1C1成立，故③正确；④显然正确.故选B.

反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.

→―→→→

跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB与C1D1；②AC1与BD1；

→→→→

③AD1与C1B；④A1D与B1C.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

→―→→→→→

解析 对于①AB与C1D1，③AD1与C1B长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1与BD1长→→

度相等，方向不相反；对于④A1D与B1C长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. (2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量. →

③试写出与向量AB相等的所有向量. ―→

④试写出向量AA′的所有相反向量.

―→―→―→―→―→解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′，A′A，BB′，B′B，CC′，―→―→―→C′C，DD′，D′D，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.

―→―→―→―→②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′，D′A，A′D，DA′，―→―→―→―→BC′，C′B，B′C，CB′.

→――→→――→③与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′，DC及D′C′. ―→―→―→―→―→④向量AA′的相反向量有A′A，B′B，C′C，D′D. 类型二 空间向量的加减运算

例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.