内容发布更新时间 : 2024/5/23 21:03:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

微分几何主要习题解答

§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

3333rrr?rr122234vb(u)，且b(u)?0，这是a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+

33直纹面的方程 ，它满足

?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹

1=0，所以所给曲面为0rrr面，又因为(a',b,b')=可展曲面。

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a?0)不是可展曲面。

r?r证法一：原曲面的方程可改写为 r=a(u)+ vb(u)，其中rrra(u)={0,0,au+b},b(u)={cosu,sinu,0}.易见b(u)?0, 所以曲面为直纹面,

00arrr又因为(a',b,b')=cosusinu0=a?0.故正螺面不是可展曲面。

?sinucosu0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

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微分几何主要习题解答

4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。

rrrrr证 挠曲线（C）:a?a(s)的主法线曲面为 (s1):r?a(s)?v?(s),因为

rrrrrrrr&rr&(a,?,?)=(?,?,??????)???0，故(s1):r?a(s)?v?(s)不是可展曲面。

rrrrr挠曲线（C）:a?a(s)的副法线曲面为 (S2):r?a(s)?v?(s)，因为

rrrrrrrrr&&，故(a,??,)?(?,?,???)???0(S2):r?a(s)?v?(s)不是可展曲面。

5。求平面族{??}：xcos?+ysin?-zsin?-1=0 的包络。

?F?xcos??ysin??zcos??0?xcos??(y?z)sin??1解 ?，即? ，将

??xsin??(y?z)cos??0?F???xsin??ycos??zcos??0此两式平方后相加得 x2?(y?z)2?1 。这就是所求的包络面。

6．求平面族a2x?2ay2z?2a的包络。

?F?a2x?2ay?2z?2a?0解 从?中消去参数a，则得所求的包络面为

?Fa?2ax?2y?2?0(y?1)2?2axz?0。

7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。

rr?r证 柱面(S1)的方程可写为 r=a(u)+ vb0，（b0?0 为常向量）因为rrrrr(a',b,b')=(a',b0,0)?0。故(S1)是可展曲面。

r?rr锥面(S2)的方程可写为 r=a0+ vb(u)（a0为常向量），因为

rrrrr(a',b,b')=(0,b,b')=0，故(S2)是可展曲面。

rrrrr曲线（C）:a?a(s)的切线曲面为 (S3):r?a(s)?v?(s)。因为rrrrrrrrr=，故(?,?,?')?0(S):r?a(s)?v?(s)是可展曲面。 (a',b,b')3 27

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rrrr8．证明ruu?ruv?0的曲面(S):r=r(u,v)是柱面。

rrrrrrr证法： 因为ruu?0，所以ru?b(v)，又因为ruv?0，因此ru?b0?0为固定

rrrrr向量。从而积分得 r(u,v)?a(v)?ub0。故曲面(S):r=r(u,v)是柱面。

§5 曲面的基本定理

1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为ds2?d?2??2d?2，试计算第二

k类克氏符号?ij。

解 因为E?1,F?0,G??2，所以?111?E?2E2?0,?11??E?E??0,?1??0， 122G2E2?12?G?2G?1?,?122??G?2E???,?222?G??0。 2G2．证明高斯曲率K?det(?ij)。 证 因为det?(ij?)1(gkj)?g(kj?)d?et?(Likgkj?)以

d?Leitk(jg)kde?t(j而L)ikdetg(k，

，

(所dgkje?1td((gkje)，)t/(从

d)e而

t()d?ie?jtLiL?N2Mgk?)d2，ejtk

EG?F故K?det(?ij)。

112??2)。 3．证明平均曲率H??(?1212??2???L1kgk1??L2kgk2??(L11g11?L12g21?L21g12?L22g22)= 证 因为?1kk-(L11g22ggg?L1221?L2112?L2211)??(LG?2MF?NE)/(EG?F2)=?2H， gggg112??2)。 所以H??(?12 28