内容发布更新时间 : 2024/12/25 14:44:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初一数学竞赛讲座(三)

数字、数位及数谜问题

一、一、知识要点

1、整数的十进位数码表示

一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成：

an?10n?1?an?1?10n?2???a3?102?a2?10?a1

其中，a i (i=1，2，?，n)表示数码，且0≤a i≤9，a n≠0.

对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=anan?1?a2a1

2、正整数指数幂的末两位数字

(1) (1) 设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则mn的末位数字就是an的末位数字。 (2) (2) 设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q的末位数字相同。

3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。

二、二、例题精讲

例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a?103+b?102+c?10+d，依题意得：

(a?103+b?102+c?10+d)+( d?103+c?102+b?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988

比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d，d+2=b，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997

评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。

例2 一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。

分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。

解：设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：abc,acb,bac,bca,cab,cba，不妨设其中的最大数为abc，则最小数为cba。由“新生数”的定义，得

c?10b?a??99?a?c? N=abc?cba??100a?10b?c???100由上式知N为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990。这9个数中，只有954-459=495符合条件。

故495是唯一的三位“新生数”

评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。

例3 从1到1999，其中有多少个整数，它的数字和被4整除？

将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补0)，0000至1999共2000个数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，十位数字从0到9中选择，各有10种。

在千、百、十位数字选定后，个位数字在2到9中选择，要使数字和被4整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为a，在2，3，4，5中恰好有一个数b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余数互不相同，其中恰好有一个余数是0，即相应的数被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一个数c(=b+4)，使a+c被4整除。因而数字和被4整除的有：2?10?10?2=400个

再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在2到9中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2?2?10?2=80个。

在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中，百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2?2?2?2=16个。

最后，千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数，数字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。 于是1到1999中共有400+80+16+1=497个数，数字和被4整除。

例4 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。

分析：把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为：a1a2a3?a9，其能被27整除。 只需证明从其相邻一位读起的数：a2a3?a9a1也能被27整除即可。 证明：设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为：a1a2a3?a9

依题意得：a1a2a3?a9=a1?10?a2?10???a8?10?a9能被27整除。

为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数：a2a3?a9a1也能被27整除即可。

87a2a3?a9a1=a2?108?a3?107???a9?10?a1

∴10?a1a2a3?a9-a2a3?a9a1

8787a?10?a?10???a?10?aa?10?a?10???a9?10?a1) 289)-(23=10(198787a?10?a?10?a?10???a?10a?10?a?10???a9?10?a1) 123923=-(

=a1?10?a1?10?1a1?1000?1a1

322??1000?1?1000?11000?1000?1?9991000?1000?1 ∵

9?9??3????? 而999能被27整除，∴10003-1也能被27整除。 因此，a2a3?a9a1能被27整除。从而问题得证。

评注：本题中，109-1难以分解因数，故将它化为10003-1，使问题得到顺利解决。

这种想办法降低次数的思想，应注意领会掌握。

例5 证明：111111+112112+113113能被10整除

分析：要证明111111+112112+113113能被10整除，只需证明111111+112112+113113的末位数字为0，即证111111，112112，113113三个数的末位数字和为10。

证明：111111的末位数字显然为1；

112112=(1124)28，而1124的末位数字是6，所以112112的末位数字也是6； 113113=(1134)28?113，1134的末位数字是1，所以113113的末位数字是3； ∴111111，112112，113113三个数的末位数字和为1+6+3=10 ∴111111+112112+113113能被10整除

评注：本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。

例6 设P (m)表示自然数m的末位数，an?Pn 求a1?a2??a1995的值。

222a?a??a????? P1?P1P2?P2P1995?P?1995121995解：=++?+

???P?n?

2????2?? =P1?P2????????P?1995????P?1??P?2????P?1995??

22

? =P1?2???1995?P?1?2???1995222?? ∵1995=10?199+5，又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5

22222222P1?2???1995?P1?2?3?4?5?P?199?5?=5+5=10 ∴

????1995?1996???P?P?1?2???1995??2??=0 又

∴a1?a2??a1995=10

评注：本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。

111111??????1？？？？？？ 请找出6个不同的自然数，分别填入6个问号中，使这个等式成立。(第三届华杯例7

赛口试题)

分析：分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基

111??本等式是：nn?1n?n?1?，它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。

11?

解：首先，1=22 从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取n=2可得：

111111????236 ∴1=236

111??又利用上面给出的基本等式，取n=3可得：3412 1111???24126 ∴ 1=

111??4520 再利用上面给出的基本等式，取n=4可得：

11111????∴ 1=2520126

111??6742 最后再次利用上面给出的基本等式，取n=6可得：111111?????∴ 1=252012742

即可找出2，5，20，12，7，42六个自然数分别填入6个问号中，使等式成立。

评注：1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取n时要适当考虑，如：最后一步就不能取n=5，因

111?为n=5将产生630，而6已出现了。

2、本题的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得：

111111????? 1=2520131566

例8 如图，在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个，每个顶点处只