内容发布更新时间 : 2024/5/17 12:23:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
( 密 封 线 内 不 答 题 ) ???????????????密??????????????????封???????????????线?????????????? 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 姓名 学号 学院 专业 座位号 华南理工大学期中考试 《概率论与数理统计》试卷(A) 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间90分钟。 题 号 一 二 三 四 得 分 评卷人 五 六 七 八 九 总分 Φ(1)=0.8413, Φ(1.65)=0.95，Φ(1.96)=0.975, Φ(1.622)=0.9474， ，错误！未找到引用源。, Φ(1.298)=0.9032, 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 _____________ ________ 11一、(10分) 已知：P(A)?P(B)?P(C)? P(AB)?P(BC)? P(AC)?0416求：P(ABC) 解：P(ABC)?P(A?B?C) =1-P(A?B?C) =1-（P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)） 3 = 8P(ABC)?0） （P(AC)?0, 二、(10分)玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率 。 解：设事件A表示“顾客买下该箱”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i?0,1,2。则 4C194P(A|B1)?4?P(B0)?0.8，P(B1)?0.1，P(B2)?0.1，P(A|B0)?1，C205， 4C1812P(A|B2)?4?C2019。
由全概率公式得
412P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.8?1?0.1??0.1??0.94519i?0 由贝叶斯公式
(B0|A)?
三（12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个
2P(B0)P(A|B0)0.8?1??0.85P(A)0.94
白球。现在从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取两球，每次取一个，不放回。
（1） 求第一次取到红球的概率；
（2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；
解：记Ai?第i次取到红球i?1,2;Bj?取到第j箱（j?1,2)
??????p(B1)?p(B2)?12183,p(A1B1)?,p(A1B2)?? 4分 23305p(A1)?p(A1B1)p(B1)?p(A1B2)p(B2)?19
30 6分
19
60 10分
（2）p(A1A2)?p(A1A2B1)p(B1)?p(A1A2B2)p(B2)?p(A2A1)?
p(A1A2)1? 12分
p(A1)2四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参数?之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，
以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列.（2）EY和DY.
解：(1) Y～B（100，p），其中
?84-72??60-72??12?p=P(60?X?84）????-????2???-1
?????????24?96?72?由0.023=p(X?96)?1?????1??() 4分
????得??2412?24???0.997,即?2，故?1 5分
?????所以p?2?(1）-1?0.6826 6分
k故Y的分布列为p(Y?k)?C100(0.6826)k(0.3174)100?k 8分
（2）EY?100?0.6826?68.26, DY?68.26?0.3174?21.6657 12分
五(12分)设 X,Y是两个随机变量，其联合概率密度为
?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0f(x,y)??2
?0,其他?求：（1）求X,Y边缘密度函数；
(2)判断X,Y是否相互独立，并求随机变量Z=X+Y的概率密度函数。 解: (1)
fX(x)?
1?(x?y)f(x,y)dy?(x?y)edy??2??0???y??11??(x?y)e?(x?y)|??e?(x?y)dyy?0220
1?x1?(x?y)y??x?1?xxe?e|y?0?2e,x?0,22故 X 的概率密度函数为
??x?1?x?e,x?0, fX(x)??2
?其他.?0,同理可得, Y 的概率密度为
?y?1?y?e,y?0, fY(y)??2
?其他.?0,(2) 显然, 我们可以看出 fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以 X,Y 不相互独立.
??由公式 fZ(z)????f(z?y,y)dy,
?z?y?0?y?z或者 ???y?0?y?0上述积分存在仅当
y=z y 时才不会等于0, 如右图所示
?z?f(z?y,y)dy,z?0fZ(z)???0?0,其他??z?y?y?(z?y?y)?edy,z?0???20?0,其他?则有
zz O
?12?z?ze,z?0,fZ(z)??2
?其他?0,五、（15）设二维随机变量?X,Y?的概率分布为
Y X -1 0 1
-1
a 0 0.2
0 0.1 b 0.2 1 0 0.1
c
PY?0X?0?0.5其中a、b、c为常数，且X的数学期望EX??0.2,,记Z?X?Y.
求 (1)
??a、b、c的值; (2)Z的概率分布; (3)P?X?Z?.
解 (1)由概率分布的性质可知, a?b?c?0.6?1,即a?b?c?0.4. 由EX??0.2,可得?a?c??0.1.
P?Y?0X?0??再由
P?X?0,Y?0?a?b?0.1??0.5P?X?0?a?b?0.5,解得a?b?0.3.
解以上关于a、b、c的三个方程可得, a?0.2,b?0.1,c?0.1. (2)Z的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则
P?Z??2??P?X??1,Y??1??0.2
P?Z??1??P?X??1,Y?0??P?X?0,Y??1??0.1P?Z?0??P?X??1,Y?1??P?X?1,Y??1??P?X?0,Y?0??0.3P?Z?1??P?X?1,Y?0??P?X?0,Y?1??0.3P?Z?2??P?X?1,Y?1??0.1所以Z的概率分布为 (3)
Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
P?X?Z??P?Y?0??0?b?0.1?0.1?0.1?0.2.
七（12分）设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x， （1）求系数A；
（2）求(X,Y)的联合分布函数。 解：（1）由题意有
所以可得：A=24 6分 （2）根据分布密度函数的性质,可得：
0x?0或y?0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y20?x?10?y?x??F(x,y)??3y4?8y3?6y2x?10?y?1
?4x3?3x40?x?1x?y?1x?1y?1?? 6分
八、(15分) 随机变量 ? 服从N(0,4)，?=2?。求：
(1) ?的概率分布密度函数f? (y)； (2) E?； (3) D?