内容发布更新时间 : 2025/12/25 3:59:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
工 程 力 学
第5章 空间力系与重心
教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。
教学要求： 本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。 (1) 空间汇交力系的概念
(2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算 (3) 空间力偶系 (4) 空间力系的简化
(5) 空间力系的平衡条件和平衡方程 (6) 物体的重心
5.1力在直角坐标轴上的投影
已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即
Fx＝±ab
符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。 已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。过力的两端点A、B分别作平面Q的垂直线AA′、BB′，则矢量A?B?称为力F在平面Q上的投影。应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)
图5.1
图5.2
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现在讨论力F在空间直角坐标系Oxy中的情况。如图5.2(a)所示，过力F的端点A、B分别作x、y、z三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA、OB、OC就是力F在x、y、z轴上的投影。设力F与x、y、z所夹的角分别是α、β、γ，则力FF在空间直角坐标轴上的投影为： s?x??Fco??Fy??Fco?s? (5－1) Fz??Fco?s? ?
用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F与z轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy上，然后再投影到坐标轴x、y上，如图5.2（b）所示。设力F在Oxy平面上的投影为Fx??Fsin?co?s?Fxy与x轴间的夹角为θ，则
?Fy??Fsin?sin?? (5－2) Fz??Fco?s?用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。 ?
若已知力F在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为
?F?X2?Y2?Z2?XYZ? （5－3）
cos??,cos??,cos???FFF?如果把一个力沿空间直角坐标轴分解，则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影的绝对值。
例5.1 如图5.3所示，已知力F1＝2kN，F2＝1kN，F3＝3kN，试分别计算三力在x、y、z轴上的投影。
图5.3
解：
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F1x??F1?F1y?F1?F1z?0F2x?F2?F2yF2zF3x3??1.2kN54?1.6kN523??0.424kN 2524?F2???0.566kN252?F2??0.707kN2?0F3y?0F3x?F3?3kN5.2力对轴之矩
力对轴之矩是度量力使物体绕某轴转动效应的力学量。实践表明，力使物体绕一个轴转动的效果，不仅与力的大小有关，而且和力与转轴之间的相对位置有关。如图5.4所示的一扇门可绕固定轴z转动。我们将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于轴的分力Fxy（即为力F在平面Oxy上的投影）。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，即力Fz对z轴的矩为零；只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。现用符号mz(F)表示力F对z轴的矩，点O为平面Oxy与z轴的交点，d为O点到力Fxy作用线的距离。因此，力F对z轴的矩与其分力Fxy对点O的矩等效，即
mz(F)＝mo(Fxy) ＝±Fxy d (5－4)
图5.4 图5.5
可得力对轴之矩的定义如下：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度，是一个代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴的交点的矩，其正负号规定为：从轴的正向看，力使物体绕该轴逆时针转动时，取正号；反之取负号。也可按右手螺旋法则来确定其正负号，姆指指向与轴的正向一致时取正号，反之取负号，如图5.5所示。
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