内容发布更新时间 : 2024/11/16 16:52:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标： （一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法:

培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：

11，试请此结论推广猜想. ??4”

aa11112（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，则??....?? n2）

a1a2an1112. 已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求证：???9.

abc先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

1. 已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，则二、讲授新课： 1. 教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.

b?c?aa?c?ba?b?c???3. abc④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差

③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.

→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和） 2. 练习：

① A,B为锐角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求证：A?B?60o. （提示：算

tan(A?B)）

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114??. a?bb?ca?c3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,???，直到最后的结论是Q. 运

② 已知a?b?c, 求证：

用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，cos4??sin4??cos2?. （教材P100 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2. ?ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：3. 作业：教材P102 A组 2、3题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式二、讲授新课： 1. 教学例题：

① 出示例1：求证3?5?2?6.

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：

2113. ??a?bb?ca?b?ca?b?ab(a?0,b?0). 2 （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

要点：逆推证法；执果索因.

1223133③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(x?y)?(x?y). 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

ll，截面积为?()2，周长为l2?2?ll2l2l2的正方形边长为，截面积为()，问题只需证：?()> ().

442?43. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到

提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为

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所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 三、巩固练习：

1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2?a2?b2?4ab?43S. 略证：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?23absinC， 即证：2?cosC?23sinC，即：3sinC?cosC?2，即证：sin(C?2. 作业：教材P100 练习 2、3题. 第三课时 2.2.2 反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：

1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？

3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课：

1. 教学反证法概念及步骤：

① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题：

CPBAOD?6)?1（成立）.

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