内容发布更新时间 : 2024/10/1 23:48:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4讲 随机事件与古典概型

[基础题组练]

1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A．0.3 C．0.6

B．0.4 D．0.7

解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4，故选B.

2．(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A．0.5 C．0.7

B．0.6 D．0.8

解析：选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：

70

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.

1003．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )

A.C.1

103 10

1B． 52D． 5

5

解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A5＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A3A2A1＝36363

种取法，所以P＝＝.故选C.

12010

4．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别

211

每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )

1

A. 81C. 6

1B． 71D． 5

解析：选B.由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差5×4

数列，设“男”分得的橘子个数为a1，其前n项和为Sn，则S5＝5a1＋m＝80，即a1＋2m2＝16，且a1，m均为正整数，若a1＝2，则m＝7，此时a5＝30，若a1＝4，m＝6，此时a5＝28，若a1＝6，m＝5，此时a5＝26，若a1＝8，m＝4，此时a5＝24，若a1＝10，m＝3，此时

a5＝22，若a1＝12，m＝2，此时a5＝20，若a1＝14，m＝1，此时a5＝18，所以“公”恰好分

1

得30个橘子的概率为.故选B.

7

5．(2020·陕西榆林模拟)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )

A.1 12

1B． 21D． 6

1C. 3

解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C4A3＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C3A2＋C3A2＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率121

为＝，故选C. 363

6．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99

＝0.98.

10＋20＋10

答案：0.98

7．(2020·四川绵阳诊断改编)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三

22

12

23

辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则P1＝________，P2＝________．

解析：三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐31

3号车可能为：132，213，231，共3种，所以P1＝＝；方案二坐3号车可能为：312，321，

6221

共2种．所以P2＝＝.

63

11答案：

23

8．已知|p|≤3，|q|≤3，当p，q∈Z，则方程x＋2px－q＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．

解析：由方程x＋2px－q＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p)－4(－q＋1)>0，即p＋q>1.

2

2

2

2

2

2

2

2

当p，q∈Z时，设点M(p，q)，如图，直线p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p，q)落在圆p＋q＝1外时，方程x＋2px－q＋1＝0有两个相异49－54422

实数根，所以方程x＋2px－q＋1＝0有两个相异实数根的概率P＝＝.

4949

44

答案： 49

9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120 2

2

2

2

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得

P(A)＝

150120

＝0.15，P(B)＝＝0.12. 1 0001 000

由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有24

0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，

100由频率估计概率得P(C)＝0.24.

10．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．

A31

解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝24＝，即甲、

C5A4401

乙两人同时参加A岗位服务的概率是.

40

A41

(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝24＝，所以甲、

C5A4109－

乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝.

10

C5A31

(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝24＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概

C5A443

率P1＝1－P2＝. 4

[综合题组练]

1．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为( )

1A. 21C. 4

1B． 31D． 6

23

4

3

解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，

现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张， 基本事件总数n＝A3＝6，

恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝C3C1C1＝3，

111

3