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微分中值定理的推广及其应用

作者：郭丽娜

来源：《都市家教·下半月》2013年第10期

【摘 要】在高等数学教学过程中对于微分中值定理的研究过程的讲解一直是我们教学的重点所在，在整个教学任务中所占的比例也是非常大的。对于微分中值定理的推广及其应用过程的学习我们也应该加以足够的重视，同时对于定理的证明过程这是我们往往忽视的一个方面所在。本文就结合微分中值定理的推广及其应用这一课题进行相关的研究与论述，希望能够对我们今后的教学过程起到一定的帮助作用。

【关键词】微分中值定理；推广与应用；探索与研究

微分中值定理的教学中很多时候学生对于一些概念的引进以及相关的运用并不是非常了解和熟练，为此这一部分的推广与应用过程就显得尤为重要，对于本文的研究与论述就是对于微分中值定理之间的内在联系以及生活实际应用展开相应的探讨，希望对于我们广大学者以及教师在今后的教学中能够奠定相应的理论基础。 一、微分中值定理推广及应用的重要意义所在

在进行高等数学教学过程中，微分中值定理所占的比重也是较大的，对于其推广与应用而言也是具有十分重要的意义所在。在我们生活中很多生活实际问题的解决过程都要运用到微分中值定理，其中微分中值定理有很多结论我们可以直接用到，它不仅仅是表现出函数与导数之间的内在联系，也是我们在进行数学研究分析过程中的重要工具，我们由此也能够充分看出其重要性所在。

二、微分中值定理的推广 1.微分中值定理的重要作用

微分中值定理组要有三个部分组成，对于我们实际生活中问题的解决起到了非常重要的作用。第一部分就是基本定理，其主要的观点就是在于微分的逆运算的过程就是不定积分。这一定理在微分中值定理中的重要作用主要体现在能够保证连续函数的原函数在某一阶段的存在性。而第二部分往往被我们成为微积分，也成为微积分第二基本定理。主要表明的观点就是定积分可以用无穷多的函数进行任意一个的计算。这对于解决实际问题具有很大的作用。第三个定力则是以一种特殊的形式出现的，主要有詹姆斯进行证明和出版。 2.微积分中值定理的基本表述形式

在对于微积分中值定理的研究过程中我们能够充分的看出两个不同的函数的表现形式，那就是函数和倒数。所谓导数就是反应函数在某一点的局部特征所在，我们要了解其定义域的整

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体特征那么就必须了解其函数中的导数，让其函数与倒数之间建立起一种关系，这就是我们在研究微分中值定理对于函数与倒数的作用所在。而对于微分中值定理而言到了很多基本定理，主要包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理四个部分，这四个定理为函数与导数之间的练习过程搭建起了基本的桥梁，使两者之间的内在联系更加明显，对于我们解决生活实际问题也奠定了相应的理论基础和相应的实践证明过程。在进行对中值定理的研究过程中，微分中值定理作为其基础所在，我们通过倒数的上升和下降来判断极值，从而得出凹形，凸形和拐点等项的重要形。从而可以实现把函数的几何图像能够正确表征出来，对于我们在后期的实际应用过程中也能够起到一定的帮助。 3.微积分中“极限”引入的必要性

在对于微积分的学习过程中，我们的首要任务就是对于“极限”的了解过程应该加以充分的重视，其原因就是在于代数的概念在人们的心里已经达到了成熟的水平，但是还存在对于“无限”的处理用代数式没有办法进行相关的处理过程。所以我们在进行“无限”的处理过程中就引进了无限的量这一概念，从而“无限”这一概念就由此产生了。对于“无限”的定义我们的理解过程就是通过代数的概念将“0”这一个麻烦能够彻底绕过去，从而对于除去“0”以外都是有意义的任意小量，对于任意小量可以取任意小，只要能够满足在“Δ”区间之内这一个条件就可以。经过这样的实践证明，我们就能够看出张格格推理过程是完全正确的，从而对于这个概念的引入也是成功的，其必要性我们也能够充分的看出。 4.微分中值定理与实际应用联系

微分中值定理的发展离不开实际应用的过程，在我们现实生活之中，对于天文、力学、社会科学以及生物工程学的发展都起到了一定的积极作用，从而对于学科分支的出现也做出了积极的贡献。在微分中值定理的应用过程中，其发展的领域范围也越来越广，在计算机的发明以及应用过程的发展也起到了不可代替的作用。而对于我们生存的物质世界中，一切事物的发展都是在运动和变化中不断进行的，达到整个宇宙，小到一颗粒子。正是因为这个愿意我们在数学中将变量的概念能够得以引进并且进行了不断的发展，从而这些运动现象才能够在数学的范畴中得以充分的描述。对于函数的概念已经用过程，我们则是通过长时间科学技术发展的需要逐步探索出来的新的数学分支。在解析几何出现后就产生了微积分学，其发展的重要性也是不言而喻的，也是在数学领域最大的创造传奇所在。 三、微分中值定理的应用 1.对于不等式与等式证明中的应用

在对于一些不等式的证明过程之中，我们以往的思维方式会出现思维定时的情况，头脑经常会陷入对于原来的式子我们要从哪里开始证明或者从哪证明这样的怪圈，使得我们的证明过程过于刻意，对于其他的联系过程我们并没有意识到，对于本身的不等式的证明过程只能按照原有的意思进行展开。现在就有这样的一个推论，如果函数在区间上可导，且中值定理则是I

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上的一个常量函数。几何意义我们自然就能够充分的看出为斜率处处为0的曲线一定是平行于y轴的直线，其证明过程就是拉格朗日中值定理所体现的。 2.关于方程根的讨论

在进行对方程根的讨论过程中，我们能够发现无穷大与无穷小之间的极限有可能存在，我们设想如果两者的关系一旦存在那么极限值也会不尽相同，这一点我们也可以称之为在型不定式的极限或者是量之比的极限。我们解决这两个极限的问题通常所采用的方法是洛比达法则。我们在进行计算的过程中往往会直接运用其结论，但是我们对于其证明过程很少注意到，然而这一法则恰恰是运用了中值定理来进行证明过程的。 3.微分中值定理之间的关系应用

在进行对一元函数微分学的研究过程中，对于微分中值定理应用的局部性质以及函数在区间上的整体性的研究中，中值定理就是其主要的工具之一。它对于数学中的分析过程起到了重要的作用，同时拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广作用的。这些定理在一定程度上都具有一定的联系，从而我们在进行实际运用过程中才能够解决其问题。其基本的特点就是在于将定理中的“可微性”概念进行不断的拓宽，对于微分中值定理的表达式的建立奠定相应的理论基础，同时对于微分中值定理在数学中的应用开阔了天地。为今后的实际应用过程打下坚实的基础。

以上就是我们在对于《微分中值定理的推广及其应用》进行的相关研究过程，对于微分中值定理的推广以及微分中值定理的应用进行了分开研究，希望能够对我们广大学者在今后的继续的研究过程中打下坚实的基础。本文研究过程中观点还存在着一定的不足，希望能够得到广大学者及老师们的积极意见与建议。 参考文献：

[1]刘曙云.杨晓段.常见微分中值问题求解探究[J].理工科研，2009

[2]林银河.关于Rolle中值定理的推广[J].丽水师范专科学院学报，2000，22（2） [3]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008 [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993