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空间向量与立体几何

第三章

3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

课时过关·能力提升

基础巩固

1下列说法中正确的是( )

A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.在四边形ABCD中,一定有

解析:|a|=|b|,说明a与b的模相等,但方向不确定;由于a的相反向量b=-a.故|a|=|b|,从而选项B正确; ,只有平行四向量与有向线段是不同的,常用有向线段表示向量;一般的四边形不具有 边形才成立,故选项A,C,D均不正确. 答案:B )-( )的结果是( ) 2化简( A.0 答案:A 为( ) 3已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则 A. B. C.

解析: .故选A. 答案:A 4当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b的关系是 A.共面 答案:A B.不共面

C.共线

D.无法确定

( )

D.0

B.

C.

D.

解析:由向量加法和减法法则知,a+b和a-b是以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线.

1

5“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 答案:B 的结果为 . 6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式 答案:0

7①若|a|=0,则a=0;②若a=0,则-a=0;③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是 . 答案:②③

D.既不充分也不必要条件

=a, =c,则 = . 8如图,若在平行六面体ABCD -A'B'C'D'中, =b, = , =b-a+c, 解析:

=a+b-c. 答案:b-a+c a+b-c

9已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简: . 解: .

10如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1,以此长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中, (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为 的所有向量.

解:(1)因为长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的 这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.

(2)因为这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 ,所以模为 的向量有 共8个.

能力提升

2

1下列说法正确的是( ) A.若|a|<|b|,则a

B.若a与b互为相反向量,则a+b=0 C.单位向量的模不一定相等

D.在四边形ABCD中,一定有

解析:选项A中,向量a与b不能比较大小;选项B中,应为a+b=0;选项C中,单位向量的模都是1个单位长度;选项D中,由向量运算可知正确. 答案:D =a, =c, 2已知平行六面体OABC-O'A'B'C', =b,则 等于( ) A.-a+b+c C.a-b-c 答案:D 满足| |=| |+| |,那么 3如果向量 A.

与 同向 C.

=- B.

与 同向 D.

( )

B.-b-a-c D.a-b+c

|=| |+| |, 解析:∵|

与 同向. ∴A,B,C共线且点C在AB之间,即 答案:D

4在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是( )

=0 A.

=0 B. =0 C.

=0 D. 答案:B 5在长方体ABCD-A'B'C'D'中,化简向量表达式 的结果是 . -( =2 . 解析: )=

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