中考数学压轴题精讲特训因动点产生的相切问题(含试题,含详解) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:25:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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因动点产生的相切问题

例 1 20XX年上海市杨浦区中考模拟第25题

如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点. (1)当tanA?1时,求AP的长;

2(2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2),设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;

(3)在(2)的条件下,当tanA?4时(如图3),存在⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q3相外切,且OM⊥OQ,试求⊙M的半径的长.

图1 图2 图3 动感体验

请打开几何画板文件名“13杨浦25”,拖动点P在⊙O上运动,可以体验到,等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似,y与x成反比例.⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形.

请打开超级画板文件名“13杨浦25”,拖动点P在⊙O上运动,可以体验到, y与x成反比例.拖动点P使得QP?5,拖动点M使得⊙M的半径约为0.82,⊙M与⊙O相内切,

2同时与⊙Q相外切.拖动点P使得QP?5,拖动点M使得⊙M的半径约为9,⊙M与⊙O、⊙

2Q都内切.

思路点拨

1.第(1)题的计算用到垂径定理和勾股定理.

2.第(2)题中有一个典型的图,有公共底角的两个等腰三角形相似.

3.第(3)题先把三个圆心距罗列出来,三个圆心距围成一个直角三角形,根据勾股定理列方程.

满分解答

(1)如图4,过点O作OH⊥AP,那么AP=2AH.

在Rt△OAH中,OA=3,tanA?1,设OH=m,AH=2m,那么m+(2m)=3.

2

2

2

2解得m?35.所以AP?2AH?4m?125.

55(2)如图5,联结OQ、OP,那么△QPO、△OAP是等腰三角形. 又因为底角∠P公用,所以△QPO∽△OAP.

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因此QP?OP,即y?3.

POPA3x由此得到y?9.定义域是0<x≤6.

x

图4 图5

(3)如图6,联结OP,作OP的垂直平分线交AP于Q,垂足为D,那么QP、QO是⊙Q的半径.

在Rt△QPD中,PD?1PO?3,tanP?tanA?4,因此QP?5.

2232如图7,设⊙M的半径为r.

由⊙M与⊙O内切,rO?3,可得圆心距OM=3-r. 由⊙M与⊙Q外切,rQ?QP?5,可得圆心距QM?5?r.

22在Rt△QOM中,QO?5,OM=3-r,QM?5?r,由勾股定理,得

22559(?r)2?(3?r)2?()2.解得r?. 2211

图6 图7 图8

考点伸展

如图8,在第(3)题情景下,如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切,那么⊙M的半径是多少? 同样的,设⊙M的半径为r.

由⊙M与⊙O内切,rO?3,可得圆心距OM=r-3. 由⊙M与⊙Q内切,rQ?QP?5,可得圆心距QM?r?5.

22在Rt△QOM中,由勾股定理,得(r?5)2?(r?3)2?(5)2.解得r=9.

22

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例2 20XX年河北省中考第25题

如图1,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD//AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.

(1)求点C的坐标;

(2)当∠BCP=15°时,求t的值;

(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河北25”,拖动圆心P在点Q左侧运动,可以体验到,⊙P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切,不能与直线AB相切.

答案 (1)点C的坐标为(0,3).

(2)如图2,当P在B的右侧,∠BCP=15°时,∠PCO=30°,t?4?3; 如图3,当P在B的左侧,∠BCP=15°时,∠CPO=30°,t?4?33.

图2 图3

(3)如图4,当⊙P与直线BC相切时,t=1; 如图5,当⊙P与直线DC相切时,t=4; 如图6,当⊙P与直线AD相切时,t=5.6.

图4 图5 图6