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第三章 3.1 3.1.1 3.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx的取值为导学号 03624637( D )
A．Δx>0 C．Δx＝0
B．Δx<0 D．Δx≠0
[解析] Δx可正也可负，但是不可以为0，故选D．
1
2．对于函数y＝，当Δx＝1时，Δy的值是导学号 03624638( D )
xA．1 C．0
B．－1 D．不能确定
[解析] 函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy必须指明在哪一点处．
3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为导学号 03624639( A ) A．f ′(x0)＝lim
Δx→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
B．f ′(x0)＝lim[f(x0＋Δx)－f(x0)]
Δx→0
C．f ′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) f?x0＋Δx?－f?x0?
D．f ′(x0)＝ Δx
[解析] B中lim[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表
Δx→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
示函数值的变化量；D中表示函数的平均变化率．
Δx
4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是导学号 03624640( D )
A．－3 C．6
B．3 D．－6
[解析] 当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度是－6.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f ′(0)＝导学号 03624641( C ) A．Δx－3 C．－3
B．(Δx)2－3Δx D．0
?0＋Δx?2－3?0＋Δx?－02＋3×0
[解析] f ′(0)＝lim ΔxΔx→0Δx2－3Δx
＝lim ＝lim (Δx－3)＝－3.故选C．
ΔxΔx→0Δx→0
6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则导学号 03624642( C )
A．f ′(x)＝a C．f ′(x0)＝a
f?x0＋Δx?－f?x0?
[解析] ∵f ′(x0)＝lim
ΔxΔx→0aΔx＋b?Δx?2
＝lim ＝lim (a＋bΔx)＝a.
ΔxΔx→0Δx→0∴f ′(x0)＝a. 二、填空题
Δy
7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝__(Δx)2＋6Δx＋12__.导学号 03624643
ΔxΔy
[解析] ∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴＝(Δx)2＋6Δx＋12.
Δx1
8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s＝gt2(g
2＝9.8 m/s2)，试估计t＝3s时物体下落的瞬时速度是__29.4_m/s__.导学号 03624644
[解析] 从3s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量： Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32 ＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，
ΔsΔs
从而，＝29.4＋4.9Δt.当Δt趋于0时，趋于29.4 m/s.
ΔtΔt三、解答题
9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度.导学号 03624645
B．f ′(x)＝b D．f ′(x0)＝b
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22) ＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2， Δs－Δt－Δt∴＝＝－1－Δt. ΔtΔt
2
∴v＝lim
Δt→0
Δs
＝lim (－1－Δt)＝－1. ΔtΔt→0
∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
B级 素养提升
一、选择题
1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于导学号 03624646( C )
A．6＋Δt C．12＋2Δt
22
Δs[2?3＋Δt?＋5]－?2×3＋5?
[解析] ＝ ΔtΔt
9
B．12＋Δt＋ ΔtD．12
＝12＋2Δt.
2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是导学号 03624647( B )
A．0 C．－2
[解析] 初速度即为t＝0时的瞬时速度，
2Δss?0＋Δt?－s?0?3Δt－Δt＝＝＝3－Δt2. ΔtΔtΔt
B．3 D．3－2t
Δs
当Δt趋近于0时，趋近于3，故它的初速度为3.
Δt
3．(2016·浙江台州检测)若f(x)在x＝x0处存在导数，则lim
h→0
f?x0＋h?－f?x0?
h
导学号 03624648( B )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h都无关
[解析] 由导数的定义可知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故选B．
4．(2016·安徽淮北高二检测)设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝导学号 03624649( C )
A．－1 C．1
1
B．
21D．
3
f?－1＋Δx?－f?－1?
[解析] ∵f′(－1)＝lim ΔxΔx→0
a?Δx－1?3＋a
＝lim ＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故选C．
ΔxΔx→05．若lim
h→0
f?x0＋h?－f?x0?f?x0－h?－f?x0?
＝1，则lim ＝导学号 03624650( D )
h2hh→0
B．－1 1
D．－ 2
A．1 1C． 2
f?x0－h?－f?x0?1f?x0－h?－f?x0?
[解析] lim ＝lim
2h2h→0hh→0f?x0－h?－f?x0?f?x0－h?－f?x0?11
＝lim－＝－lim 2h→02→－h－hh01
＝－.故选D．
2二、填空题
6．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为__0_m/s__.导学号 03624651
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2， ΔS－4Δt∴＝＝－4Δt， ΔtΔt
2
∴v＝lim
Δt→0
ΔS
＝lim (－4Δt)＝0. ΔtΔt→0
∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0 m/s.
7．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 4428π
[解析] ∵Δy＝π×23－π×13＝，
333
28π .导学号 03624652 3Δy28π∴＝＝. Δx2－13三、解答题
2
8．求函数f(x)＝3x－在x＝1处的导数.导学号 03624653
x2
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1
1＋Δx22Δx
＝2＋3Δx－＝3Δx＋，
1＋Δx1＋Δx2Δx3Δx＋
1＋ΔxΔy2
＝＝3＋， ΔxΔx1＋Δx∴lim
Δx→0
28π
3
Δy2＝lim (3＋)＝5，∴f ′(1)＝5. ΔxΔx→01＋Δx
C级 能力提高
1
1．(北京高考)已知f(x)＝x3＋2x＋1，则f′(－1)的值是__3__.导学号 03624654
3f?－1＋Δx?－f?－1?
[解析] f′(－1)＝lim
ΔxΔx→0
＝lim
Δx→0
?1?－1＋Δx?3＋2?－1＋Δx?＋1?－?1×?－1?3－2＋1?
?3??3?
Δx
＝3.
2．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)
2??3t＋2 ?t≥3?s＝?. 2
?29＋3?t－3? ?0≤t<3??
求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.导学号 03624655
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]时的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， Δs48
∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为＝＝24(m/s)．
Δt2