内容发布更新时间 : 2024/5/22 19:19:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an?1?an?f(n)

解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列?an?满足a1?11，an?1?an?2，求an。 2n?n变式: 已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式. 类型2 an?1?f(n)an 解法：把原递推公式转化为例1:已知数列?an?满足a1?例2:已知a1?3，an?1an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2nan，求an。 ，an?1?3n?13n?1?an (n?1)，求an。 3n?2变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1 (n≥2)，则{an}的通项an??类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?例:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 变式:（2006，重庆,文,14）

在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). （I）求数列?an?的通项公式； （II）若数列{bn}滿足4142?4n（Ⅲ）证明：

b?1b?1b?1n?1?1

n?2___?q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?p?(an?1)bn(n?N*),证明：数列{bn}是等差数列；

an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12类型4 an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或an?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q系数法解决。

例:已知数列?an?中，a1?n?1，得：

an?1pan1anp1b?b??????b?引入辅助数列（其中），得：再待定bn?1nnnqqqn?1qqnqqn511n?1,an?1?an?()，求an。 632412an??2n?1?，n?1,2,3,??? 333变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列?an?的前n项的和Sn?n32n??，证明：?Ti? （Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,?2Sni?1类型5 递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 其中s，t满足??s?t?p

?st??q解法二(特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。

n?1n?1若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2时，数列?an?的通项为an?Ax1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和?Bx2n?1n?1n?1n?1,2，代入an?Ax1，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1，其中A，B由a1??,a2???Bx2n?1决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。 例:已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?变式:

1.已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).

（I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式； （III）若数列?bn?满足4142...4nb?1b?1b?121an?1?an，求an。 33?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数列

2.已知数列3.已知数列

?an?中，a1?1,a2?2,an?2?2an?1?1an，求an

33?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，

?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列；

?an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列；⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。 n2⑴设数列bn⑵设数列cn类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an)) 解法：这种类型一般利用an??去an进行求解。

例：已知数列?an?前n项和Sn?4?an??S1????????????????(n?1)与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消

?Sn?Sn?1???????(n?2)12n?2.

（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公式an.

（2）应用类型4（an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)））的方法，上式两边同乘以2由a1?S1?4?a1?n?1得：2n?1an?1?2nan?2

1nnn?a?1?a?.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2a?2?2(n?1)?2n2a1nnn21?22n?1??变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3(?)12n?13(n?3),且S1?1,S2??,求数列{an}的通项公式.

2、0，a?0) 类型7 an?1?pan?an?b(p?1解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

?an?xn?y?是公比为p的等比数列。

例:设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an. 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛an｝中，a1?1、点（n、2an?1?an）在直线y=x上，其中n=1,2,3… 2(Ⅰ)令bn?an?1?an?3,求证数列 (Ⅱ)求数列?an? ?bn?是等比数列；的通项；(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列?an??bn?的前n项和,是否存在实数?，使得数列?、r类型8 an?1?pan(p?0,an?0)

?Sn??Tn??为等差数列？若存在试求出? 不存在,则说明理由. n??解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛an｝中，a1?1,an?1?12?an(a?0)，求数列?an?的通项公式. a1an(4?an),n?N. 2变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分） 已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an. 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=

112，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 ?anan?23Tn?1类型9 an?1?f(n)an解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q。

g(n)an?h(n)例：已知数列｛an｝满足：an?an?1,a1?1，求数列｛an｝的通项公式。

3?an?1?1变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分） 1.已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－1，且an＝ （n?2，n?N?）22an－1＋n－1（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2?……an?2?n！

2、若数列的递推公式为a1?3,11??2(n??)，则求这个数列的通项公式。 an?1an3、已知数列{an}满足a1?1,n?2时，an?1?an?2an?1an，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：an?an?1,a1?1，求数列｛a｝的通项公式。

3?an?1?1n

5、若数列｛an｝中，a1=1，an?1=

2an n∈N?，求通项an．

an?2类型10 an?1?pan?q

ran?hpan?qh（其中p、q、r、h均为常数，且ph?qr,r?0,a1??），

rran?h解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于n?N，都有an?1?那么，可作特征方程x?等比数列。

?1??an?x1?px?q,当特征方程有且仅有一根x0时,则?则??是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，?是

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