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单摆周期公式理解及的应用专题

1、准确把握摆长的概念。 2014-11-9(2特优)

如图1所示，摆球运动的轨迹是一个圆弧，所以单摆做的是一个非完整的圆周运动，而摆长则为该圆周运动的轨道半径。即：“L”为质点到圆心的距离。

【例1】 一个在夏天走时很准的钟，若到冬天，则走时是变慢还是变快？ 【例2】 【例2】在以下三个问题中均不计空气阻力：

（1）如图2所示，长为L的轻绳一端固定于天花板上的O点，另一端系一小球（可看成质点），在悬点的正下方L/3处有一钉子，今将小球拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。

（2）如图3所示，两根长为L的轻绳一端分别固定于天花板上的A点和B点，另一端共同系一小球（可看成质点），平衡时，两绳与水平的夹角均为θ。今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。

（3）如图4所示，三绳长均为L，上面两绳一端固定在天花板上，拉直时与水平成θ角，今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。

【例3】在光滑的水平导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的轻质细线，下端悬一质量为m的摆球B，A、B的直径均远小于L，如图5所示。今将B球稍微拉离竖直位置后释放，摆球作小幅度的振动，不计空气阻力，求其振动周期。

2、准确把握重力加速度的概念。

根据公式 T?2?lg 可知，单摆的周期与重力加速度有关，同时在教学中，我们也带领学生通过实验测定了本地的重力加速度的数值，然而不同地点的重力加速度值是有差异的，所以即使是同一个完全相同的单摆，在不同的地点摆动时，周期也存在差异。

【例4】一个在广州走时很准的摆钟，若到了莫斯科，则走时是变慢还是变快？ 【例5】一个在山脚下走时很准的摆钟，若到山顶上，则走时是变慢还是变快？

【例6】一个在地球表面上走时很准的摆钟，若到了月球表面上，则走时是变慢还是变快？

3、单摆周期公式等效思想在单摆和类单摆问题中的应用。

3．1 平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导

如图所示，K?xoy为惯性参考系，K??x?o?y?为相对于K系以加速度

a。=ax + ay 运动的非惯性平动参考系，其中(x0,y0)为o?在惯性参考系中的坐标。在K?系中，

摆球受重力mg，摆线张力FT及惯性力三个力的作用。

例7 如图5所示，在倾角为?的固定光滑斜面上有一从静止开始下滑的小车，车厢顶上有一摆长为l的单摆，摆

球质量为m，求此摆的周期。

a?gsin??图5

3.2、 “等效重力加速度”的求解策略

平动非惯性参考系中单摆的周期问题在一些竞赛题中经常考到，学生们多是运用等效的物理思想，求得等效重力加速度a?，代替惯性参考系中在只有重力和摆线张力作用下的单摆的周期公式T?2?lg中的重力加速度值g，从而得到答案。这里的加速度a?是指除摆线的张力外，摆球所受其他力的合力所产生的加速度。或者说小球在平衡位置时摆绳的拉力对小球产生的加速度。下面举两个例子试说明之：

在惯性参考系中

例8如图所示，轻绳长为L，摆球（可看成质点）质量为m，带电量为+q，在该区域存在一个水平向右的匀强电

场，场强E，若小球绕O点做小振幅（最大摆角小于5°）振动，不计空气阻力，求其周期。

例9倒悬单摆如图10所示，在一个水池底部用一根长为L的轻绳固定一个质量为m小木球（可看成质点），

小木球所受水的浮力的大小恒为F（F>mg）。若小球绕O点做小振幅（最大摆角小于5°）振动，不计空气阻力，求其周期。

例10磁场中的单摆 如图12所示，轻绳长为L，摆球（可看成质点）质量为m，带电量为+q，在该区域存在

一个垂直纸面向里的匀强磁场，场强B，若小球绕O点做小振幅（最大摆角小于5°）振动，不计空气阻力，求其周期。

在平动的非惯性参考系中

例11以加速度a向上加速的电梯顶上挂一摆线长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为？

??aaF惯?maG?mg

图1

例12 以加速度a向右加速运动的小车顶上挂一摆长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为？

amaamg

图2

3.3、 将复杂模型等效成类单摆模型

例13

如图13所示，O为光滑圆弧的最低点，半径R远远大于整段弧长，不计空气阻力。1）现分别从非

常靠近O点的a处和圆心b处同时由静止释放两小球a、b（两球都可看成质点）。试判断a、b谁先到达O点。 （2）若在圆弧上a、c两处分别由静止开始释放a、c两小球（可看成质点），则两球在何处（O点、O点左侧、O点右侧）第一次相碰？