内容发布更新时间 : 2025/1/22 18:46:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1．定积分
(1)定积分的相关概念
在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫baf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
②一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
b①∫bakf(x)dx＝k∫af(x)dx. ∫b②∫bf2(x)]dx＝∫ba[f1(x)±af1(x)dx±af2(x)dx. cb③∫baf(x)dx＝∫af(x)dx＋∫cf(x)dx. b[探究] 1.若积分变量为t，则∫baf(x)dx与∫af(t)dt是否相等？
提示：相等．
2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？
提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
3．定积分∫ba[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？
提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理
b如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫af(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定
理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即
b∫baf(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)．
[自测·牛刀小试] 11.∫42dx等于( ) x
A．2ln 2 C．－ln 2
B．－2ln 2 D．ln 2
14
解析：选D ∫42dx＝ln x |2＝ln 4－ln 2＝ln 2. x
2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
17A. 613C. 6
14B. 311D. 6
?1t3－1t2＋2t??2＝17. 2
解析：选A S＝∫21(t－t＋2)dt＝??16?32
3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________． 13282解析：∫20xdx＝x |0＝. 338答案： 3
24．(教材改编题)∫101－xdx＝________.
222解析：由定积分的几何意义可知，∫101－xdx表示单位圆x＋y＝1在第一象限内部分的面积，所以
12∫11－xdx＝π. 0
41答案：π
4
15
5．由曲线y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________．
x2
1?1
，2，B?2，?，所以阴影部分的面积， 解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A??2??2??212?－x＋5－2?
1?x?dx＝
212?－1x2＋5x－ln x?
2?2?
15
答案：－2ln 2
8
15
＝－2ln 2. 8
[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：
2π
(1)∫21(x＋2x＋1)dx；(2)∫0(sin x－cos x)dx；
1?2?2x(3)∫20x(x＋1)dx；(4)∫1e＋xdx； ??(5)
??20x sin2dx.
2
x322219222222
(1)∫1(x＋2x＋1)dx＝∫1xdx＋∫12xdx＋∫11dx＝1＋x1＋x2. 1＝
3
[自主解答]
| | |
3
(2)∫π0(sin x－cos x)dx
π＝∫π0sin xdx－∫0cos xdx π＝(－cos x) |π0－sin x |0＝2. 22(3)∫20x(x＋1)dx＝∫0(x＋x)dx
13212222
∫＝∫2xdx＋xdx＝x |＋x | 00
302013??12?14＝??3×2－0?＋?2×2－0?＝3. 1?12x2x?∫2∫2e＋(4)∫2dx＝edx＋dx 111x??x112214＝e2x |21＋ln x |1＝e－e＋ln 2－ln 1 22211
＝e4－e2＋ln 2. 22(5)＝
???20?20x sin dx＝
2
2
??20?1－1cos x?dx ?22?
11
dx－22
?20??20?20cos xdx π1π－2＝－＝. 424
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求定积分的一般步骤
1
＝x21－sin x2
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计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．
1．求下列定积分： (1)∫20|x－1|dx； (2)
??201－sin 2xdx.
??1－x， x∈[0，1?
解：(1)|x－1|＝?
?x－1， x∈[1，2]?
12
故∫20|x－1|dx＝∫0(1－x)dx＋∫1(x－1)dx
x2?x－x? |1
x－? |1＝?＋0?2??2? 11＝＋＝1. 22
22