内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:07:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
绪论：
例 已知x1?3.142，x2?3.141作为?＝3.141592…的近似值，试分别求出它们有效数字的位数及相对误差限
解：（1）x1??<3.142－3.14159＝0.00041<0.5×10
-3
3.142＝0.3142×10 ，1－n＝－3，∴n＝4
∴3.142有4位有效数字
1
?x1r??1x1?0.00041?0.013%
3.142-2
（2）x2??<0.000593<0.5×10
∴1-n=-2 ∴n=3
∴3.141有3位有效数字
?∴当3.141作为?的近似数时有3位有效
数字，不具有4位有效数字，3.14有效，千分位1不是有效数字。
练习 已知x1＝2.71，x2＝2.72，x3＝2.7181作为e＝2.71828…的近似值，求这3个近似数的有效数字的位数。 （n＝2， 3， 4 ）
推论1 对于给出的一个有效数，其绝对误差限不大于其末位数字的半个单位。
m
推论2 若近似值x=± 0.a1a2…an*10 (其中a1≠0) 具有n位有效数字，则其相对误1*差er≤2a1x2r0.000593???0.019% x23.141?2
*10?(n?1)。
m
m-1
*
证明：∵x=±0. a1…an*10 ∴| x |≥a1*10 1 又x具有n位有效数字，则| x- x|≤2*10m?n
| e* r |=
m?n1*10x*?x1?(n?1)2??*10 x*a1*10m?12a1 ∴n越大，|e* r |就越小，一般应用中取?r=例1：求6的近似值，使其相对误差不超过
1*10?(n?1) 2?11*10?3。 2*
解：6=2.4494……取?1=2，设x=6有n位有效数字，由推论2，
?r=
11*10?(n?1)≤*10?3，∴n=4，取x*=2.449 2?12练习：要使20的近似值相对误差不超过0.1%，则至少要求几位有效数字？
解：设x=20，其近似数x具有n位有效数字，其相对误差限满足
*
?r=
1*10?(n?1)≤0.1%?n≥3.097 ∴n=4 2?1例1 求有效数3.150950，15.426463, 568.3758, 7684.388之和。 解 ∑＝……=8271.341 213 而这和的绝对误差限为
2*0.5*10-6+0.5*10-4+0.5*10-3 ≈0.5*10-3
∴∑应舍入成8271.341最末3位的计算没有意义，合理的做法是将小数位较多的各位数按小数位最少的位数多取1位作舍入处理，再相加
3.1510+15.4265+568.3758+7684.388=8271.3413 3*0.5*10-4+0.5*10-3＝0.00065<0.5*10-2 和8271.3413舍入至小数后2位得 8271.34
例2：求x+(???2
?b?b2?4ac9
)x+10 =0的根，求根公式x=,?=-10 ,?=－1 2a9
10
10
10
b=???=－0.1*10-0.0000000001*10=-0.1*10(设为八位机运算)
109?109?109 ???b-4ac=10-4*1*10=0.1*10=10? x1,2=
20?2
18
9
19
18
??b?sgn(b)b2?4acb?9x?x??x??10?121???a2a换一种算法 ? ??
9c?x1x2??x?c?10?129?a??ax10?1注意：（1）大量运算时，??i可能很大。(举例，如高考估分)
（2）两个相差很大的数进行加减时，要防止大数“吃”小数现象，在多个数求和时，
如果被加数的绝对值之间差异较大，且包含许多绝对值较小的数，则应按绝对值从小到大的次序相加。
（3）要避免两个相近数相减
例：cos20=0.9994,但1－cos20=0.0006却只有一位有效数字……，遗失有效位。为避免这种情况，改变计算公式
21?co?s?2sin?2
x?x?1?1x?x?1(当x很大)
sin(x+?)-sinx=2cos(x+lnx1- lnx2= ln
??)sin 22x1(当x与x2接近时) x2*4.2 y=a*x (a为常数) 易知| e*y|=| a*ex|≤|a|*?x，若a增大，则| ey| 也增大
*（4）避免小数作除数和大数作乘数
（5）尽量简化计算步骤，减少运算次数。
例如，如果直接计算x255 的值须进行254次乘法运算若采用公式 x255＝x* x2* x4* x8* x16* x32* x64* x128，只需做14次乘法运算 （6）注意运算次序 例 计算D?解 算法一:
0.0005*0.0143*0.0012
0.0003*0.0125*0.0135A?0.0005*0.0143*0.0012???0.000 000 009 (有舍入) B?0.0003*0.0125*0.0135???0.000 000 051 (有舍入)
D1 =A/B= 0.176 47
D的真值为0.169 481 48…，只精确到小数后一位 算法二:
a = 0.0005/0.0003≈1.666 667 b = 0.0143/0.0125=1.14400 c = 0.0012/0.0135≈0.088 889
D2 = abc = … = 0.169 482, 则D1 精确到小数后五位
?1nx例 计算 In?e?0xedx （n= 0, 1, 2, 3…）,
1 解 用分部积分公式得递推式:
In?1?nIn?1, I0?1?e?1 。
用四位有效数字计算: I0 = 0.6321,
I1?1?I0?0.3679, I2?1?2I1?0.2642, , , ,
I3?1?3I2?0.2074I5?1?5I4?0.1480I7?1?7I6?0.2160I4?1?4I3?0.1704I6?1?6I5?0.1120, , .
I8?1?8I7??0.7280 估算In
e?111?1xnIn?emine?xdx? In?emaxe?xdx?
00n?1n?10?x?10?x?1?1x1ne?11?In?故0? n?1n?10.0409?I8?0.1111 0,0460?I7?0.1250,。
于是I7，I8与精确值已经面目全非，一位有效数字也没有。这是由于如果I0有误差
e?0.5?10?4，
2k(?1)(?1)?1???, 当k?7时，e?1?0.3679(e?1?(?1)?2!k!
其截断误差
f(7?1)(?)11?4?4(x?x0)7?1 R7?e?0.3679???10?0.5?10, R7?(7?1)!8!4?1不计中间再产生的舍入误差，该误差随着计算过程分别乘以2,3…7,8，到I8时已经变成了
8! e?40320 e，误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。
如果换一种算法，将递推式改为In?1?1(1?In)， ne?11?I?取n = 9 , ∵91010其传播到I0所引起的误差仅为
11e?1)?0.0684 ∴I9?(?21010由I9，逐步计算I8 , I7 …直到I0 = 0.6321,。计算结果有四位有效数字，如果I9有误差e，
1e。故该算法是稳定的。 9!练习 序列{yn}满足递推关系yn = 10yn-1－1 （n=1，2，…）,若y0＝2?1.41（3位有效数字），计算到y10时误差有多大？这种算法是稳定的吗？
**-2解 y0?1.41 ?(y0)?0.5?10??
**y1?y1?10y0?y0?10?
***y10?y10?10y9?y9???1010y0?y0?1010?
由此递推关系每计算一次，其结果误差比上一次增长10倍，故算法是不稳定的。
例 证明方程1－x－sinx＝0在区间[0，1]内有唯一实根，如果使用二分法求该区间内的根，
－
且误差不超过0.5×104，试问需要二分区间[0，1]多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0
∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。又
f?(x)= －1－cosx<0 (x?[0，1])，故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。
－
给定误差限?＝0.5×104，有
k?ln(b?a)?ln??ln0.5?4ln10?1??1?13.2877
ln2ln2 故只要取n＝14即可。
练习 证明方程ex+10x－2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，
－
且误差不超过106，试问需要二分区间[0，1]多少次？ 证明 令f(x)＝ex+10x－2， ∵ f(0)=-1<0，f(1)=e+8> 0
∴ f(x)= ex+10x－2 =0在[0，1]有根。又
f?(x)= ex+10 >0(x?[0，1])，故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。
－
给定误差限106，有
k?ln(b?a)?ln?6ln10?1??1
ln2ln2只要取k＝19次.
第一章
例 求过这三个点 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。 解： P2(x)?(x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)?1??2??3?x?1
(0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)此为一条直线，其原因在于(0，1)，(1，2)， (2，3)三点共线 注意2：
?l(x)?1
ii?0n例1 已知函数y=f(x)的观察数据为下表，试构造拉格朗日多项式
Ln (x)， 并计算L(－1)。 xk yk
解： 先构造基函数
－2 5 0 1 4 －3 5 1 l0(x)?x(x?4)(x?5)x(x?4)(x?5)??
(?2?0)(?2?4)(?2?5)84(x?2)(x?4)(x?5)(x?2)(x?4)(x?5)?
(0?(?2))(0?4)(0?5)40(x?2)x(x?5)x(x?2)(x?5)??
(4?2)(4?0)(4?5)24
l1(x)?l2(x)?l3(x)?(x?2)(x?0)(x?4)x(x?2)(x?4)?
(5?2)(5?0)(5?4)35
所求三次多项式为
L3(x)
??5?＝
x(x?4)(x?5)(x?2)(x?4)(x?5)x(x?2)(x?5)x(x?2)(x?4)??(?3)??84402435
??????x?x?x?? ??????L3(－1)＝?515524 ???1?4214217