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第 33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题

2016年9月17日

一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为R1、R2，且两柱面外切；其剖面（平 面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各 自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O为 直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。一束在真空中波长为?的可见光沿Z轴负

方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。R1和R2远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为n0 ?1.00。试推导第k级亮纹在X-Y平面的 投影的曲线方程。

已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏） 介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折 射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sinx?x,当x??1。

二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0?C，一加水员到 实验园区给一内径为2.00m、高为2.00m的圆柱形不 锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为 4.00cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接 处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后， 加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水， 与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00m。

（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0?C，问此时 观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。

（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空 气的热容量。

已知罐外气压始终为标准大气 压p0?1.01?10pa, 水 在4.0?C时的密度 为

5?0?1.00?103kg?m?3??水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为??3.03?10?4K?1，重力加速度大

小为g?9.80m?s，绝对零度为?273.15?C.

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?2三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318 倍）。假设地球与木星均沿 圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其 它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为ms 和 mj ，引力常量为G。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是re和rj。假设在某个时刻，地球与 太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为?。这时若太阳质量突然变为零，求

（1）此时地球相对木星的速度大小vej和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率v0。 （2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（1）中结果和数据m ?2.0?1030kg、 s 27kg、木星公转周期T?12 y。 m?j 1.9?10j

四、（20 分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长 为L、质量为m、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性 绳的一端系在桥沿b，绳的另一端系一质量为M的小物块（模拟蹦 极者）；假设M比m大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和 蹦极者的重力向下拉时会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者 从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过

程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为g。 （1）求蹦极者从静止下落距离y（y?L

）时的速度和加速度的

大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 （2）求蹦极者从静止下落距离y（y?L 处张力的大小。

五、（20分）一种拉伸传感器的示意图如图a 所示：它 由一半径为r2的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕 N （N??1）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为r1， 外表面均匀涂有厚度为t（t??r1??r2）、电阻率为?的 石墨烯材料；传感器两端加有环形电极（与绳保持良好 接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为N个椭圆环挨在一 起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹 角为?（见图a），相邻两圈绳之间的接触电阻为Rc。 现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现n 个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调

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）时，绳在其左端悬点b

节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而 成（见图b）。假设拉伸前后?、r1、r2、?、t均不变。

（1）求拉伸后传感器的伸长率?（?是传感器两电极之间距离的伸 长与其原长之比）和两环形电极间电阻的变化率；

（2）在传感器两环形电极间通入大小为I的电流，求此传感器在未 拉伸及拉伸后，在塑料棒轴线上离塑料棒中点 O 距离为 D （ D 远大于传感器长度）的 P 点（图中未画出）处沿轴向的磁感应强度。

已知：长半轴和短半轴的长度分别为 a 和 b 的椭圆的周长为?(3

六、（20分）光电倍增管是用来将光信号转 化为电信号并加以放大的装置，其结构如 图a 所示：它主要由一个光阴极、n个倍增 级和一个阳极构成；光阴极与第1倍增级、 各相邻倍增级及第n倍增级与阳极之间均 有电势差V；从光阴极逸出的电子称为光 电子，其中大部分（百分比?）被收集到第 1倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；

每个被收集到第i倍增级（i?1,?,n）的电子在该电极上又使得?个电子（??1)逸出；第i倍增 级上逸出的电子有大部分（百分比?）被第i?1倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被 阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为e。

（1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知???1，n??1；

（2）为使尽可能多的电子从第i倍增级直接到达第i?1倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中， 会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为a且相邻倍增级间 的几何位置如图b所示，倍增级间电势 差引起的电场很小可忽略。所施加的匀 强磁场应取什么方向以及磁感应强度大 小为多少时，才能使从第i倍增级垂直出 射的能量为Ee的电子中直接打到第i?1倍增级的电子最多？磁感应强度大 小为多少时，可以保证在第i?1倍增级 上至少收集到一些从第i倍增级垂直出 射的能量为Ee的电子？

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a?b?ab)，其中b?0. 2图b