内容发布更新时间 : 2024/6/3 22:38:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第六讲：多元函数的微分法及其应用

一、二元函数的极限与连续 1、 二元函数的定义：

设有三个变量x、y与z，如果对于x、y所能取的每一对值，z按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称z是x、y的函数，记作z?f?x,y?，?x,y??D 。 注：这里的D为定义域或定义区域。

区域：连通的开集，也称开区域。

应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：

比如：?x,y?x2?y2?1为有界开集；?x,y?x2?y2?1为有界闭集；

??????x,y?x?y?1?为无界开集；??x,y?x?y?1?为无界闭集。

??y?22??x?y，求f?x,y?： x?[例]已知f?x?y,x2?1?y?yuuv解：记：x?y?u、?v，即x?、y?，故f?x,y??。

1?yx1?v1?v2、 二重极限：

?x,y???x0,y0?limf?x,y??A

????0，???0，当0??x?x0?2??y?y0?2??时，恒有f?x,y??A??。

注1：二重极限中：?x,y???x0,y0?要求“以任何方式”、“同时”进行。

如果函数f?x,y?沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使?x,y???x0,y0?时极限不存在，则

?x,y???x0,y0?limf?x,y?不存在；

如果函数f?x,y?沿两条不同的路径（或以两种不同的方式）使?x,y???x0,y0?时极限不存在，则

?x,y???x0,y0?limf?x,y?不存在。

注2：要注意二重极限：

f?x,y?与二次极限lim?limf?x,y????或

?x,y???x0,y0?x?x0?y?y0?limlim?limf?x,y????的差别；

y?y0?x?x0??xy22,x?y?0?2[例]：设函数f?x,y???x?y2讨论limf?x,y?。

?x,y???0,0?22?x?y?0,?0,kx2k?[解]：取y?kx，limf?x,y??limf?x,kx??lim2随k的不

x?0x?0x?k2x2?x,y???0,0?1?k2同而变化，因此注：

?x,y???0,0?limf?x,y?不存在。

x?x0y?y0y?y0x?x0?x,y???x0,y0?limf?x,y?的存在性与二次极限limlimf?x,y?、limlimf?x,y?的存在性无

关：

11??xsin?ysin,xy?0,取f?x,y??? yx?0,xy?0,??x,y???0,0?limf?x,y??0（xsin11，但limlimf?x,y?、limlimf?x,y?均?ysin?x?y）

x?0y?0y?0x?0yx不存在，（limsiny?011、limsin均不存在），反例更多。 yx?0x3、二元函数的连续性：

设二元函数f?x,y?在?x0,y0?的某个邻域内有定义，若或记全增量?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0?，当0??x,y???x0,y0?limf?x,y??f?x0,y0???x,?y???0,0?lim?z?0或???0，???0，

?x?x0?2??y?y0?2??时，恒有f?x,y??f?x0,y0???，则称f?x,y?在

?x0,y0?处连续。

若f?x,y?在D内处处连续，则称函数f?x,y?在D内连续；函数不连续的点称为

f?x,y?的间断点。

若函数f?x,y?在有界闭区域D上连续，则f?x,y?在D上必有界，且能取得最大值和最小值。也必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

3、 例子 [例1]（1）

1?xy1?0连续性?1；

?x,y???0,1?x2?y202?1lim1?cosx2?y2?lim（2）lim?x,y???0,0?x2?y2x2y2?x,y???0,0??????212x?y21?11?2????； ?lim?222222???x,y???0,0?2?xx?yxyy?????x2?y2?2xy1? ???x?0,y?0??22?2x2y2?xy2xy??（3）令??x??cos??y?x?x?lim??sin??cos???0；

，则lim?x,y???0,0?x2?y2??0?y??sin?注：??0时，?是变量，也在变化，不能把?看成常量；

比如：

?x,y???0,0?limx2?y2??lim不存在。 ??0?yarctanx? （4）lim?x????x2?y2??y????因为x???，y???，不妨设x?0，y?0，由x?y?2xy?0知

22?xy?x20??xyxy1?0??，从而22?x2?y22x?y?x2????x2?1??1????，由lim??x???2?2?y?????x2x2?0得

?xy??lim?x????x2?y2??y????（5）lim??x,y???2?0；

?x?2?ln?x?2?e?y?1??1?lim??lim??x?2?ln?x?2??0 ?x,y???2,1?3x?2y8x?2?x?2??x?2??y?1?,1?3x?2y1???221x2?y21x?ye?lim?（6）lim?x,y???0,0?x4?y4?x,y???0,0?x4?y4x2?y2??2??2e?1x?y22，

由

?x,y???0,0?2lim1?x2?y2?2e?1x?y22?lim????01?2e?1??0，其中??x2?y2；且

1?x?22?y2?2x2y21?1?4?1?1?2，故limex?y?0。 44444?x,y???0,0?x?yx?yx?y2注：求（证明）二重极限（存在）时，一般先估计二重极限是否存在，若估计存在，

则可利用函数连续性或夹逼原理或等价无穷小等。

?xy222,x?y?0,?2[例2]讨论函数f?x,y???x?y4在点?0,0?处的连续性

?0,x2?y2?0?k2x3k2x?lim?0 [解]取y?kx，limf?x,y??limf?x,kx??lim2?x,y???0,0?x?0x?0x?k4x4x?01?k2x2取y?x21x，limf?x,y??lim?fx,x?lim2?，故limf?x,y?不存

?x,y???0,0?x?0x?x2?x,y???0,0?x?02??在，因此论函数f?x,y?在点?0,0?处不连续。 二、二元函数的微分法

1、 偏导数

（1）一阶偏导数：设函数z?f?x,y?在点?x0,y0?的某个邻域内有定义，

fx??x0,y0??fy??x0,y0???z?x?z?y?x0,y0??lim?xzf?x0??x,y0??f?x0,y0?， ?lim?x?0?x?x?0?x?xzf?x0,y0??y??f?x0,y0??lim。

?y?0?y?y?0?y?x0,y0??lim其中：?xz、?yz称为z?f?x,y?关于x、y的偏増量。

?z几何意义：

?x?z?f?x,y?在点?x0,y0,f?x0,y0??处的切线对x轴的倾斜?x0,y0?表示曲线?y?y0?角的正切。

（2）二阶偏导数：

?2z?2z?2z?2z???x,y?、???x,y?、2?fyy???x,y? 、???x,y?称为二阶?fxy?fyx?fxx 2?x?y?y?x?x?y?2z?2z???x,y?、???x,y?称为二阶混合偏导数。 ?fxy?fyx偏导数，其中

?x?y?y?x???x,y?、fyx???x,y?在区域D内连续，则在D定理：若z?f?x,y?的两个二阶混合偏导数fxy???x,y?。 ???x,y??fyx内必有fxy2、 全微分

（1）若z?f?x,y?在点?x,y?处全增量?z?f?x??x,y??y??f?x,y?可表示为

?z?A?x?B?y?o???，其中A、B不依赖于?x、?y，????x?2???y?2，则称

z?f?x,y?在点?x,y?处可微，其中A?x?B?y称为z?f?x,y?在点?x,y?处的全微分，

记作dz?A?x?B?y。

（2）偏导数连续、函数可微与偏导数存在的关系

z?f?x,y? 具有一阶连续偏导数?z?f?x,y?可微

??z?z?z?z?z?z?x??y?dx?dy 、存在，且dz??x?y?x?y?x?y或?z?f?x,y?连续 或?方向导数

?z存在 ?l?z?dz注1：可通过讨论：

??x,y??f?x??x,y??y??f?x,y??fx??x,y??x?fy??x,y??y??x?2???y?2是否趋于零??x?0,?y?0?，确定z?f?x,y?在点?x,y?处是否可微；

若lim?z?dz?x?0?y?0??z?dz?0，则z?f?x,y?在点?x,y?处可微，

若lim?x?0?y?0??0，则z?f?x,y?在点?x,y?处不可微；

xy?,x2?y2?0,?2比如：函数f?x,y???x?y2由fx??0,0??fy??0,0??0，及取y?x得

22?0,x?y?0,??x?0?y?0lim?z?dz??lim?x??y?x?0?y?0??x?2???y?2?lim?x??x?x?0??x?2???x?2?1?0 2知z?f?x,y?在点?0,0?处不可微。 本题还可说明：函数不可微但偏导数存在。 注2：偏导数存在但函数不连续：

?xy,x2?y2?0,?22比如：函数f?x,y???x?y在点?0,0?处存在偏导数

?x2?y2?0?0,fx??0,0??fy??0,0??0（可由定义得），但不连续（可取y?0、及y?x讨论）。

偏导数不存在但函数连续：

比如：函数f?x,y??x?y在点?0,0?处偏导数不存在但函数连续。 3、方向导数与梯度 （1）

π??zf?x??cos?,y??cos???f?x,y???lim?；??????

2??l??0??（2）若z?f?x,y?在点?x,y?处可微，则z?f?x,y?在点?x,y?处各方向的方向导数均存