内容发布更新时间 : 2024/5/3 7:26:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章
函数与极限
教学目的：
1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系
式。
2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极
限之间的关系。
6、 掌握极限的性质及四则运算法则。
7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极
限的方法。
8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、 复合函数及分段函数的概念； 2、 基本初等函数的性质及其图形； 3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、 两个重要极限； 5、 无穷小及无穷小的比较； 6、 函数连续性及初等函数的连续性； 7、 区间上连续函数的性质。 教学难点：
1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数
一、集合 1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M.
集合的表示:
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}.
描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A?{a1, a2, ? ? ?, an}, M?{x | x具有性质P }.
例如M?{(x, y)| x, y为实数, x2?y2?1}. 几个数集:
N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N?{0, 1, 2, ?????, n, ?????}. N??{1, 2, ?????, n, ?????}. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z?{?????, ?n, ?????, ?2, ?1, 0, 1, 2, ?????, n, ?????}.
Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.
p Q?{|p?Z,q?N?且p与q互质}
q 子集: 若x?A, 则必有x?B, 则称A是B的子集, 记为A?B(读作A包含于B)或B?A . 如果集合A与集合B互为子集, A?B且B?A, 则称集合A与集合B相等, 记作A?B. 若A?B且A?B, 则称A是B的真子集, 记作A??B . 例如, N??Z??Q??R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算
设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A?B, 即
A?B?{x|x?A或x?B}.
设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A?B, 即
A?B?{x|x?A且x?B}.
设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\\B, 即
A\\B?{x|x?A且x?B}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\\A为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则:
设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律A?B?B?A, A?B?B?A;
(2)结合律 (A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C);
(3)分配律 (A?B)?C?(A?C)?(B?C), (A?B)?C?(A?C)?(B?C);
(4)对偶律 (A?B)C?AC ?BC, (A?B)C?AC ?BC. (A?B)C?AC ?BC的证明:
x?(A?B)C?x?A?B?x?A且x?B?x?A C且x?BC ?x?AC ?BC, 所以(A?B)C?AC ?BC.
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A?B, 即 A?B?{(x, y)|x?A且y?B}.
例如, R?R?{(x, y)| x?R且y?R }即为xOy面上全体点的集合, R?R常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间:
设a [a, b] ? {x | a ?x?b }称为闭区间, [a, b) ? {x | a?x 其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b?a称为区间的长度. 无限区间: [a, ??) ? {x | a?x }, (??, b] ? {x | x < b } , (??, ??)?{x | | x | < ??}. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设?是一正数, 则称开区间(a??, a??)为点a的?邻域, 记作U(a, ?), 即 U(a, ?)?{x | a??< x < a??} ?{x | | x?a| 其中点a称为邻域的中心, ? 称为邻域的半径. 去心邻域U(a, ?): U(a, ?)?{x |0<| x?a | 二、映射 1. 映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X?Y , ??