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高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设

求答案：

二、求下列函数的定义域：

、

y2、 三、求下列极限：

x2siny 1、lim （0） 2、 x2y四、证明极限 lim不存在 证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在 21, 2

五、证明函数在整个xoy面上连续。

证明：当时，f(x,y)为初等函数，连续。当时，

，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。 六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式. 解：，

§ 2 偏导数

、设验证

，证明：

、求空间曲线在点（,,1）处切线与y轴正向夹角 x23、设求fx(x,1) ( 1) y 4、设求

， ， 解： ，

、设，证明

6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 222

连续； 不存在，

7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 （2fx(a,b)） § 3 全微分 1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件

（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在

（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分： yyy11） 22 2）解：

11y 3）解：

3、设， 求 解：

2dy 4、设

求：

、讨论函数f(x,y

在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性 所以f(x,y)在（0，0）点处连续。 解：

，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则 dzvt1、 设，求 dt

解：=cost.(sint)dt

，求, 2、 设

、 设，f 可微，证明

、 设)，其中f具有二阶连续偏导数，求，，

解：

2 2

4yf111122222

5、 设

，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求

解：

，

du 6、 设，，，求

dx

)。 解：dx

化为

， 7、设

，且变换

可把方程

其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值

证明：

2

得：

8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，

求 和

(a+ab+ab2+b3) § 5 隐函数的求导公式 dy

1、 设yln，求 dx

解：令， z222 2、 设由方程确定，其中f可微，证明 y

3、 设由方程所确定，其中f可微，求

又，