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2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 7．B

2．A 8．C

3．B 9．C

4．B 10．A

5．A 11．C

6．A 12．D

二、填空题 13．y?2x 三、解答题 17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15． 由a1??7得d=2．

所以{an}的通项公式为an?2n?9．

22（2）由（1）得Sn?n?8n?(n?4)?16．

14．9 15．?1 216．402π

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为?16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

???30.4?13.5?19?226.1(亿元)． y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

??99?17.5?9?256.5(亿元)． y（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016

??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，年的数据建立的线性模型y第 5 页 共 26 页

因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：

（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0． ?y?4x2k2?4． ??16k?16?0，故x1?x2?k224k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．

k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1． 2k因此l的方程为y?x?1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5． 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得或? ??(y0?x0?1)2?16.?y0?2?y0??6.?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144． 20．解：

（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23． 连结OB．因为AB?BC?且OB?AC，OB?22222AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2． 2222由OP?OB?PB知PO?OB．

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由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC．

uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz．

uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),取平面PAC的uuur法向量OB?(2,0,0)．

uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0)．

设平面PAM的法向量为n?(x,y,z)．

uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取

??ax?(4?a)y?0n?(3(a?4),3a,?a)，

uuur所以cosOB,n?uuur3|cosOB,n|?．

2所以23(a?4)23(a?4)?3a?a222．由已知得

23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=34．解得a??4（舍去），a?． 23uuuruuur834343,,?)．又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?所以n?(?． 3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为

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21．解：

2?x（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x?1)e?1?0．

设函数g(x)?(x?1)e2?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x．

当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?axe．

2?xf(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．

（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．

当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1?4a是h(x)在[0,??)的最小值． e2e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

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