内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:42:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．

18．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． （1）求P（X＝2）；

（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

19．（12分）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4． （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；

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（2）求{an}和{bn}的通项公式． 20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣

．

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝e的切线． 21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣．记M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P． （1）当θ0＝

时，求ρ0及l的极坐标方程；

x

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；

（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．

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2019年全国统一高考数学答案解析（理科）（新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案． 【解答】解：根据题意，A＝{x|x﹣5x+6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}， B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}， 则A∩B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1）； 故选：A．

【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．

2．【分析】求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可． 【解答】解：∵z＝﹣3+2i， ∴

，

2

∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限． 故选：C．

【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题． 3．【分析】由即可求解． 【解答】解：∵∴∵|

＝|＝1，

＝（1，0）， ＝（2，3），

＝（3，t），

＝

先求出

的坐标，然后根据|

|＝1，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示

＝（1，t﹣3），

∴t﹣3＝0即则

?

＝2

故选：C．

【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题 4．【分析】由α＝．推导出

＝

≈3α，由此能求出r＝αR＝

3

．

【解答】解：∵α＝．∴r＝αR，

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r满足方程：+＝（R+r）．

∴＝≈3α，

3

∴r＝αR＝故选：D．

．

【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题． 5．【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：A．

【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．

6．【分析】取a＝0，b＝﹣1，利用特殊值法可得正确选项． 【解答】解：取a＝0，b＝﹣1，则 ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；

，排除B；

a＝0＞（﹣1）＝﹣1＝b，故C对； |a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D． 故选：C．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题． 7．【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论 【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β； 对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β； 对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β； 对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β． 故选：B．

【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．

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