内容发布更新时间 : 2024/5/5 7:05:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
解析几何应用题
【拓展探究】
1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记?EFA??，?为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦） （1）用?表示AF的长；
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于?的
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函数关系式，并设计?的大小，使“蝴蝶形图案” 的面积最小．
?CB2?π?【解】（1）由抛物线的定义知，AF?AF?cos??2，解得AF?，???0,?．
1?cos??2?22（2）据（1）同理可得BF?， ??π?1?sin?1?cos?????2?FCF?21?cos?π????2，DF?1?cos?22． ??3π?1?sin?1?cos?????2?所以“蝴蝶形图案”的面积
4?1?sin?cos??122122?π???， 即S?，S???????0,?． sin2?cos2?21?cos?1?sin?21?cos?1?sin??2?令t?1π，则S?4t2?t,t??2,???，所以当t?2，即??时，S的最小值为8．
sin?cos?4??答：当??
π时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小． 42. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S??4lh）
x2y2【解】（1）如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为2?2?1.
ab将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a?米.
447887,此时l?2a??33.3.因此隧道的拱宽约为33.377x2y21124.521124.522?11?4.5（2）由椭圆方程2?2?1，得2?2?1.因为2?2?即ab?99,且
abababab99?1124.52192?.当S取最小值时，有2?2?,得a?112,b?l?2a,h?b,所以S?lh?此
422ab22??ab时l?2a?222?31.1,h?b?6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
3. 如图所示，有两条道路OM与ON，?MON?60，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，
0B分别在OM，ON上），若下水管道的总长度为3km，设OA?a(km)，OB?b(km)．
（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；
（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到
OM的距离PH为
3km，到点O的距离PO为47km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口4点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．
5. 如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设圆形保护区.规划要求: 新桥BC与河岸AB垂直; 保护区的圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正
立一个边界为到该圆北方向
60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan?BCO?（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？ 【解法探究】
4. 3（1）解法1：（两角差的正切）连结AC，由题意知tan?ACO?6，则由两角差的正切公式可得：17tan?ACB?tan(?BCO??ACO)?答：新桥BC的长度为150m.
2，故BC?cos?ACB?AC?150m 344可知直线BC的斜率k??，则33解法2：（解析法）由题意可知A(0,60),B(170,0)；由 tan?BCO?直线BC所在直线的方程为y??43(x?170)；又由AB?BC可知，AB所在的直线方程为y?x?60；344?y??(x?170)??3联立方程组?，解得x?80,y?120；
3?y?x?60??4即点B(80,120)，那么BC?(80?170)2?1202?150. 答：新桥BC的长度为150m.
解法3：（初中解法）延长CB交OA所在直线于点G， 由tan?BCO?68085050044可得OG?，CG?，AG?，cos?CGO?sin?GCO?，故 33335400，在?OCG中，由 3BG?cos?CGO?AG?勾股定理得CG?850，故BC?150m 3答：新桥BC的长度为150m.
（2）解法1：（解析法） 由题意设M(0,a)(0?a?60)，圆M的方程为x?(y?a)?r，且由题意可
222680?a680?3a3知r?. 又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么?541?(?)23?r?a?80680?3a，解得10?a?35；由函数r?为区间?5r?(60?a)?80?[10,35]上的减函数，故当a?10时，半径取到最大值为130.