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2016年全国初中数学联合竞赛试题

第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?的小数部分，b是?t的小数部分，则

1，a是t2?311?? （ ） 2baA.

13 B. C. 1 D. 3 22 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书

30本，那么不同的购书方案有 （ ）

A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?13?(?1)3,26?33?13, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）

A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 3(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当

2a?b为整数时，ab? （ ）

13A.0 B. C.? D.?2

44 4.已知?O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交?O于点E,若

AB?8,CD?2,则?BCE的面积为 （ ） A.12 B.15 C. 16 D.18

0 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?5,CD?1,对角

线的交点为M，则DM? ( )

A.35 B. 2312 D.

22C. 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( )

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A.

123 B. C. D.1 234 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

3（x?0）的图象x(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上，?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的坐标为 .

1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把?BAC三等分，

AD?3,则AM? . 2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点，

CD?AO,BC?OD,则?ABC? . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .

3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .

第二试

(3月20日上午9:50 — 11:20)

一、（本题满分20分）

已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值.

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二、（本题满分25分）

(A).如图，点C在以AB为直径的?O上，CD?AB于点D,点E在BD上，AE?AC,四边形DEFM是正方形，AM的延长线与?O交于点N.证明:FN?DE.

(B).已知：a?b?c?5, a2?b2?c2?15, a?b?c?47. 求(a2?ab?b2)(b2?bc?c2)(c2?ca?a2)的值.

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三、（本题满分25分）

(A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?1 ,且

(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 .

xyyzzx(1) 求

111??的值. xyyzzx(2) 证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).

(B).如图，在等腰?ABC中,AB?AC?5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线

AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F, 求AD?AF的值.

2016年全国初中数学联合竞赛试题详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

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一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?小数部分，b是?t的小数部分，则

1，a是t的

2?311?? （ ） 2baA.

13 B. C. 1 D. 3 22【答案】A. 【解析】?t?1?2?3,1?3?2,?3?2?3?4, 即3?t?4,

2?3

又

?a?t?3?3?1.?t??2?3,?2??3??1,??4??2?3??3,

?b??t?(?4)?2?3,?11112?33?11??????,故选A. 2ba2(2?3)2223?1

2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）

A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 【答案】C.

【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y,z,则??x?y?z?30，

10x?15y?20z?500?即??y?z?30?x?y?20?2x，解得? 依题意得，x,y,z为自然数（非负整数），

?3y?4z?100?2x?z?10?x故0?x?10,x有11种可能的取值（分别为0,1,2,?,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C.

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）

A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 【答案】B.

3322?(2k?1)?(2k?1)(2k?1)?(2k?1)【解析】(2k?1)?(2k?1)??(2k?1)?(2k?1)????

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