内容发布更新时间 : 2025/1/6 16:03:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五讲 最大公约数与最小公倍数

【知识导引】

一、约数的概念与最大公约数

约数又叫因数(在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b]的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大

公因数。

1. 求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；

21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：396，所以(12,18)?2?3?6；

32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2315；

600?315?1285；315?285?130；285?30?915；30?15?20；所以1515和

600的最大公约数是15。 2. 最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。

3. 求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求

b出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。

a二、倍数的概念与最小公倍数

对于整数m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中

最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数法求最小公倍数

例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数

21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；

32③公式法：[a,b]?a?b (a,b)2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母

35[3,5]15b?的最大公约数b；即为所求。例如：[,]?

412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：

?14??1,4??2,3???2,3??4 ??三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数。

2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即(a,b)?[a,b]?a?b。 3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：

①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数。

②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：

6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168

③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。

【例题解析】

【A组——基础夯实】

例1 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

解：由ab=[a，b]×（a，b）可得：另一个数为，252×4÷28=36 答：另一个数是36。

例2 求437与323最大公约数是多少？

解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5，

那么（437,323）=19

答：437与323的最大公约数是19。

例3 已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？

解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7，显然4与7之间差最小，20×7=140,20×4=80

答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。

例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？

解：最多可以分成(336,252,210)?42（份） 每份中有苹果336÷42=8（个） 每份中有桔子252÷42=6（个） 每份中有梨210÷42=5（个）

答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。

【B组——能力提升】

例1 已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数。

解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2

（1）当两个数互质时，1×（1+142）=1×143=11×13；

（2）当两个自然数最大公约数为2时，2×（142+2）=2×144=16×18， 所以这两个自然数是11和13或者16和18。

答：略。

例2 已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数。

解：设这两个数为a,b,若（a,b）=m,则a?mq1,b?mq2(q1,q2互质)，则?a,b??mq1q2, 由a?b?mq1?mq2?m(q1?q2)?60, （a,b）+?a,b??m?mq1q2?m?(1?q1q2)?84, 由此可知，m为60和84的公约数，而（60,84）=12，所以m只能取1、2、3、4、6、12， 当m取1、2、3、4、6时均不满足m(q1?q2)?60和m?(1?q1q2)?84， 所以m取12，当m?12时，q1?q2?60?12?51；?q1q2?7，?q1q2?6。所以当q1?2，q2?3，a?12?2?24,b?12?3?36 答：这两个自然数分别是24和36。

例3 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数，1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，正方形的边长为(135105)，?15，长方形纸块的面积为 (正方形纸块的面积为15?15?225 (平方厘米)，共可裁成135?10?51417平方厘米)，正方形纸块14175?225?63 （块）。

答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成63块。

例4 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差。 解：设这两个自然数为：5a、5b，其中a与b互质，则有5a?5b?50，a?b?10，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以这两个两个自然数为5×9=45，5×1=5或5×7=35，5×3=15。它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20

答：所求这两个数的差是40或者20。

例5 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长。

解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为?54,72??216厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216?54?4 (个)，

216?72?3 (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4?3?1?6 (个)脚印。

60?6?10，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216?10?2160 (厘米)