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江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题18 附加题22

题

回顾2009～2012年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.

[典例1]

(2012·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

所以共有8C3对相交棱． 8C38×34

因此P(ξ＝0)＝2＝＝. C126611

- 1 -

2

2

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对， 661

故P(ξ＝2)＝2＝＝，

C126611

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－－＝.

所以随机变量ξ的分布列为：

411161111

ξ P(ξ)

0 4 111 6 112 1 11616＋2

则其数学期望E(ξ)＝1×＋2×＝.

111111

本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值． [演练1]

(2012·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X.

(1)若取到红球再放回，求X不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X的概率分布与数学期望． 33×412

解：(1)∵P(X＝1)＝，P(X＝2)＝2＝，

774933

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.

49

A33

(2)∵X可能取值为1,2,3,4,5，P(X＝1)＝1＝，

A77

- 2 -

1

A4A32

P(X＝2)＝2＝，

A77

A4A36A4A33

P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝4＝，

A735A735A4A31

P(X＝5)＝5＝.

A735∴X的概率分布列为：

4121

31

11

X 1 2 3 4 5 P 326317 7 35 35 35

∴E(X)＝1×37＋2×2631

7＋3×35＋4×35＋5×35＝2.

即X的数学期望是2. [典例2]

已知△ABC的三边长为有理数． (1)求证：cos A是有理数；

(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数． [证明] (1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知

cos A＝AB2＋AC2－BC2

2AB·AC是有理数．

(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数． ①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数， 从而有sin A·sin A＝1－cos2

A也是有理数．

②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数． 当n＝k＋1时，由

cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，

sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA) ＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，

由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．

综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．

- 3 -