内容发布更新时间 : 2024/5/2 20:21:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第15讲 直线与圆

1．与Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)与之垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.

2．过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 3．两平行线间的距离：d＝By＋C2＝0)．

4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

5．过圆x2＋y2＝r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.

6．过⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆的方程可设为：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，当λ＝－1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程．

7．过圆内一点的直线被圆截得的弦中，最长弦是直径，最短的弦是以该点为中点的弦． 8．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，当该点与圆心连线与该直线垂直时，其切线长最小．

|C2－C1|A2＋B2

(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0.l2：Ax＋

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小题速解——不拘一格 优化方法

考点一 直线的方程及应用

[典例1] (1)设a∈R，则“a＝－2”是直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

通解：当a＋1＝0即a＝－1时，l1：－x＋2y－1＝0 l2：x＋4＝0，显然不合题意．

a1x4

当a≠－1时，l1：y＝－x＋，l2：y＝－－ 22a＋1a＋1a1

－＝－2a＋1

l1∥l2? 解得a＝1或a＝－2.

41－≠a＋12

?????

因此a＝－2是l1∥l2的充分不必要条件．

优解：当a＝－2时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x－y＋4＝0， 显然l1∥l2.

当l1∥l2时，由a(a＋1)＝2得a＝1或a＝－2， 所以a＝－2是l1∥l2的充分不必要条件．

2

答案：A

(2)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

通解：∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0，0)，B(1，3)． 当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零； 当点P与点A，B均不重合时，

∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10， |PA|2＋|PB|210

∴|PA|·|PB|≤＝＝5，

22当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．

优解：直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A(0，0)，B(1，3)且两直线垂直．

11

∴当P与A，B不重合时，形成直角三角形PAB，|AB|＝10，而S△PAB＝|PA||PB|＝|AB|·h.

221

当P到AB的距离h＝|AB|时，S最大，

21

∴(|PA|·|PB|)max＝|AB|2＝5.

2答案：5

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