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推理与证明、数学归纳法

编稿:辛文升 审稿:孙永钊

【考纲要求】

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.

2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 6.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【知识网络】

归纳

推 理

推 理 与 证 明

证 明

间接证明

【考点梳理】

合情推理

类比

演绎推理

数学归纳法

直接证明

综合法 分析法 反证法

【高清课堂:推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】

考点一:合情推理与演绎推理

1.推理的概念

根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论.

2.合情推理

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理称为合情推理.

合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类:

(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些

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特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理,归纳推理简称归纳.

(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理简称类比.

3.演绎推理

从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.

三段论是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 要点诠释:

合情推理与演绎推理的区别与联系 (1)从推理模式看:

①归纳推理是由特殊到一般的推理. ②类比推理是由特殊到特殊的推理. ③演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论看:

①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。

(3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

考点二:直接证明与间接证明 1.综合法

(1)定义:综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因索果的证明方法,又叫顺推法.

(2)综合法的思维框图:

用P表示已知条件,Q（为定义、定理、公理等,Q表示所要证ii?1，2，3，...，n）明的结论,则综合法可用框图表示为:

???.........（P?Q1）（Q1?Q2）（Q2?Q3）（Qn?Q）

2.分析法

(1) 定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件,定理,定义,公理)为止.这种证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推法或执果索因法.

(2)分析法的思维框图:

???.........得到一个明显成立的条件. （Q?P1）（P1?P2）（P2?P3）3.反证法

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(1)定义:假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫反证法.反证法是一种间接证明的方法.

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤: ①分清命题的条件和结论.

②做出与命题结论相矛盾的假设.

③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.

④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真.

考点三:数学归纳法

数学归纳法证明命题的步骤:

(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；

(2)假设当n?k(k?N*,k?n0)时结论正确,证明n?k?1时结论也正确, 由(1)(2)确定对n?N*,n?n0时结论都正确。

要点诠释:

1.在证明过程中

证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立；

证明了第二步,就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论；

2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取:

初始值n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同,初始值不一定从

n0?1开始。如,证明不等式2n?n2,初始值应从n0?5开始.

必须把要把归纳假设用上一次或者多次:

在由假设n?k时命题成立,证明n?k?1时命题也成立,必须把要把归纳假设用上一次

*或者多次。必须把归纳假设“n?k(k?n0,k?N)时命题成立”作为条件来推导出

“n?k?1时命题也成立”是第二步的关键,只有通过归纳假设的使用,才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况,保证了命题的传递性。此处变形的方法较多,要在不同题型中逐步去体会,如证明整除问题、几何问题等。 【典型例题】

类型一:合情推理与演绎推理

例1.平面内的1条直线把平面分成2部分,2条相交直线把平面分成4部分,3条相交但不共点的直线把平面分成7部分,n条彼此相交而无三条共点的直线,把平面分成多少部分？

【思路点拨】可通过画当直线条数n为3,4,5时,分别计算出它们将平面分成的区域数

Sn,从中发现规律,再归纳出结论.

【试题解析】设平面被n条直线分成Sn部分,则:

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