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第六节 利用导数解决函数的零点问题

考点1 判断、证明或讨论函数零点的个数

判断函数零点个数的3种方法

直接法 令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图像的函数，看其交点的个数即可 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：

π??(1)f′(x)在区间?－1，?存在唯一极大值点； 2??(2)f(x)有且仅有2个零点．

1

[证明] (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋

1＋x11＋x2

.

π?π???π??当x∈?－1，?时，g′(x)单调递减，而g′(0)＞0，g′??＜0，可得g′(x)在?－1，?2?2???2??π??有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x∈?α，?时，g′(x)＜0.

2??

π?π???所以g(x)在(－1，α)单调递增，在?α，?单调递减，故g(x)在?－1，?存在唯一

2?2???π??极大值点，即f′(x)在?－1，?存在唯一极大值点．

2??

(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

(ⅰ)当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,0)单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]的唯一零点．

π??π??(ⅱ)当x∈?0，?时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在?α，?单调递减，而

2?2???

f′(0)＝0，f′??＜0，所以存在β∈?α，?，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，22

?π?????

??

π??

f′(x)＞0；当x∈?β，?时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在?β，?单调递

22

π?

?

?

?

π??

减．

?π??π??π?又f(0)＝0，f??＝1－ln?1＋?＞0，所以当x∈?0，?时，f(x)＞0.从而，f(x)在

2?2??2???

?0，π?没有零点． ??2??

(ⅲ)当x∈?

?π，π?时，?π??π?f′(x)＜0，所以f(x)在?，π?单调递减．而f??＞0，f(π)?

?2??2??2?

?π?＜0，所以f(x)在?，π?有唯一零点． ?2?

(ⅳ)当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1，所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点．

综上，f(x)有且仅有2个零点．

根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研

究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图像，然后通过函数图像得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图像交点的个数，基本步骤是“先数后形”．

设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．

3

ex－e

[解] (1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋(x＞0)，则f′(x)＝2，

mxxxx∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e

∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，

e∴f(x)的极小值为2.

x1mx(2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)，

3xx3

13

令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0)．

313

设φ(x)＝－x＋x(x≥0)，

3

则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)．

当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点，

2

2

∴φ(x)的最大值为φ(1)＝，

3又∵φ(0)＝0.

结合y＝φ(x)的图像(如图)，可知， 2

①当m＞时，函数g(x)无零点；

3

2

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

32

③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；

3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 2

综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；

32

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

32

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．

3

考点2 已知函数零点个数求参数

解决此类问题常从以下两个方面考虑

(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图像的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足条件．

(2)先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．

设函数f(x)＝－x＋ax＋ln x(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；

2

?1?(2)若函数f(x)在?，3?上有两个零点，求实数a的取值范围．

?3?

[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时，

1－2x－x＋1

f′(x)＝－2x－1＋＝，

2

xx