内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:27:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
大学物理下册课后习题全解
第十二章 真空中的静电场
12.1 如图所示,在直角三角形ABCD的A点处,有点电荷q1 = 1.8×10-9C,B点处有点电荷q2 = -4.8×10-9C,AC = 3cm,BC = 4cm,试求C点的场强.
[解答]根据点电荷的场强大小的公式 A q1 q1q92-2
,其中1/(4πε) = k = 9.0×10N·m·C. E?k2?0
r4??0r2E2 B C 点电荷q1在C点产生的场强大小为: θ q2 E1 E q111.8?10?994-1E1?4??0AC2?9?10?(3?10)?22?1.8?10(N?C)
图12.1
方向向下.
点电荷q2在C点产生的场强大小为
|q2|4.8?10?994-1E2??9?10??2.7?10(N?C), 2?224??0BC(4?10)1方向向右.
C处的总场强大小为
2E?E12?E2?0.913?104?3.245?104(N?C-1),
总场强与分场强E2的夹角为??arctanE1?33.69?. E2
12.2 半径为R的一段圆弧,圆心角为60°,一半均匀带正电,另一半均匀带负电,其电线密度分别为+λ和-λ,求圆心处的场强. ds R [解答]在带正电的圆弧上取一弧元
θ O Ex x ds = Rdθ,电荷元为dq = λds, 在O点产生的场强大小为 E Ey 1dq1?ds? y , dE???d?224??0R4??0R4??0R场强的分量为dEx = dEcosθ,dEy = dEsinθ.
对于带负电的圆弧,同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧形是对称的,x方向的合场强为零,总场强沿着y轴正方向,大小为
E?2Ey??dEsin?
L??2??0R?/6?0sin?d???(?cos?)2??0R?/6
0Ex θ O E Ey ds R y x ?(1?3?.
)22??0R
12.3 均匀带电细棒,棒长a = 20cm,电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1,求: (1)棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强;
(2)棒的垂直平分在线与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强.
[解答](1)建立坐标系,其中L = a/2 = 0.1(m),x = L+d1 = 0.18(m). 在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq = λdl,
根据点电荷的场强公式,电荷元在P1点产生的场强的大小为
y dq?dldl dE1?k2?2 lx r4??(x?l)0 r L d1 P1 x -L o
场强的方向沿x轴正向.因此P1点的总场强大小通过积分得
?Ldl?1LE1? ?2?4??0?L(x?l)4??0x?l?L?1112L?. ① ?(?)?224??0x?Lx?L4??0x?L将数值代入公式得P1点的场强为
2?0.1?3?10?8E1?9?10?= 2.41×103(N·C-1), 220.18?0.19方向沿着x轴正向.
(2)建立坐标系,y = d2.
在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq = λdl, 在棒的垂直平分在线的P2点产生的场强的大小为
dE2?kdq?dl, ?22r4??0r由于棒是对称的,x方向的合场强为零,y分量为 dEy = dE2sinθ.
由图可知:r = d2/sinθ,l = d2cotθ, 所以 dl = -d2dθ/sin2θ, 因此 dEy?总场强大小为
dE2 y dEy θ P 2 dEx r d2 -L L θ o x lx dl ??sin?d?,
4??0d2?sin?d??cos??4??d02l??L2L?. ②
LL??Ey?4??0d2?1l??L??4??0d2ld?l222L
l??L24??0d2d2?L2将数值代入公式得P2点的场强为
2?0.1?3?10?83-1
= 5.27×10(N·C). Ey?9?10?221/20.08(0.08?0.1)9方向沿着y轴正向.
[讨论](1)由于L = a/2,x = L+d1,代入①式,化简得
E1??a?1, ?4??0d1d1?a4??0d1d1/a?1E1?保持d1不变,当a→∞时,可得
?, ③
4??0d1ad?(a/2)222这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小.
(2)由②式得
Ey??4??0d2??4??0d21(d2/a)?(1/2)22,
当a→∞时,得 Ey??, ④
2??0d2何值时,圆
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2,则有大小关系Ey = 2E1.
12.4 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状,试问θ为心O点处的场强为零.
R O θ 图12.4
[解答]设电荷线密度为λ,先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强. 在圆弧上取一弧元 ds =R dφ, 所带的电量为 dq = λds,
在圆心处产生的场强的大小为
dE?kdq?ds???d?, r24??0R24??0Rdφ 由于弧是对称的,场强只剩x分量,取x轴方向为正,场强为 dEx = -dEcosφ. 总场强为
Ex???4??0R2???/2??cos?d????4??0R2???/2sin??/2
R φ O θ x /2dE ???sin,方向沿着x轴正向. 2??0R2 E`` R O θ E` x 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.
根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为
E`??,
4??0R`Ex?2E`cos由于两根半无限长带电直线对称放置,它们在O点产生的合场强为
?2???cos,方向沿着x轴负向.
2??0R2b a P `当O点合场强为零时,必有Ex?Ex,可得 tanθ/2 = 1,
因此 θ/2 = π/4, 所以 θ = π/2.
12.5 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板,其电荷密度为ζ,如图所示.试求:
(1)平板所在平面内,距薄板边缘为a处的场强.
(2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.
[解答](1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度为dλ = ζd x,
根据直线带电线的场强公式E? d Q 图12.5 ?, 2??0r,其方向沿x轴正向.
y 得带电直线在P点产生的场强为
dE?d?2??0r?b/2?dx2??0(b/2?a?x) b
a 由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同,所以总场强为
E??1??dx?ln(b/2?a?x)?/2b/2?a?x2??0?b2??0?b?ln(1?). ① 2??0ab/2 O dx P x ?b/2场强方向沿x轴正向.
(2)为了便于观察,将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度仍然为dλ = ζd x, 带电直线在Q点产生的场强为
dE?d?2??0r??dx2??0(b2?x2)1/2,
x r O d y b dx θ z Q dE
沿z轴方向的分量为
dEz?dEcos???cos?dx,
2??0(b2?x2)1/2?d? 2??0设x = dtanθ,则dx = ddθ/cos2θ,因此
dEz?dEcos??积分得
arctan(b/2d)Ez???bd??arctan(). ② ?2??0??02d?arctan(b/2d)场强方向沿z轴正向.
[讨论](1)薄板单位长度上电荷为λ = ζb, ①式的场强可化为
E??ln(1?b/a), 2??0ab/a?, ③ 2??0a当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为
E?这正是带电直线的场强公式.
(2)②也可以化为Ez??arctan(b/2d),
2??0db/2d当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为
Ez??,
2??0d这也是带电直线的场强公式.
当b→∞时,可得:Ez??, ④ 2?0这是无限大带电平面所产生的场强公式.
12.6 (1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少?
(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上,这时通过立方体各面的电通量是多少? [解答]点电荷产生的电通量为Φe = q/ε0.
(1)当点电荷放在中心时,电通量要穿过6个面,通过每一面的电通量为Φ1 = Φe/6 = q/6ε0. (2)当点电荷放在一个顶角时,电通量要穿过8个卦限,立方体的3个面在一个卦限中,通过每个面的电通量为Φ1 = Φe/24 = q/24ε0;
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直,通过每个面的电通量为零.
12.7 面电荷密度为ζ的均匀无限大带电平板,以平板上的一点O为中心,R为半径作一半球面,如图所示.求通过此半球面的电通量.
[解答]设想在平板下面补一个半球面,与上面的半球面合成一个球R 2O 面.球面内包含的电荷为 q = πRζ,
通过球面的电通量为 Φe = q/ε0,
通过半球面的电通量为Φ`e = Φe/2 = πR2ζ/2ε0.
12.8 两无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2(R1 > R2),带有等量异号电荷,单位长度的电量为λ和-λ,求(1)r < R1;(2) R1 < r < R2;(3)r > R2处各点的场强.
[解答]由于电荷分布具有轴对称性,所以电场分布也具有轴对称性. (1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内没有电荷,所以
E = 0,(r < R1).
(2)在两个圆柱之间做一长度为l,半径为r的同轴圆柱形高斯面,高斯面内包含的电荷为 q = λl,穿过高斯面的电通量为
?e???E?dS??EdS?E2?rl,
SS根据高斯定理Φe = q/ε0,所以
E??, (R < r < R).
12
2??0r(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以
E = 0,(r > R2).
12.9 一厚度为d的均匀带电无限大平板,电荷体密度为ρ,求板内
S1 E 外各点的场强.
E [解答]方法一:高斯定理法.
S1 (1)由于平板具有面对称性,因此产生的场强的方向与平板垂直且S0 d 2r S0 对称于中心面:E = E`.
S2 在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面,场强与上下 两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为 E` S2 E` ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS
?S?S1?S2?S0 ?ES?E`S?0?2ES,
高斯面内的体积为 V = 2rS,包含的电量为 q =ρV = 2ρrS, 根据高斯定理 Φe = q/ε0,
可得场强为 E = ρr/ε0,(0≦r≦d/2).①
(2)穿过平板作一底面积为S,高为2r的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES,
高斯面在板内的体积为V = Sd,包含的电量为 q =ρV = ρSd, 根据高斯定理 Φe = q/ε0,
可得场强为 E = ρd/2ε0,(r≧d/2). ②
方法二:场强迭加法.
(1)由于平板的可视很多薄板迭而成的,以r为界,下面平板产生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向向下.在下面板中取一薄层dy,面电荷密度为 E1 y dζ = ρdy,
产生的场强为 dE1 = dζ/2ε0,
r dy 积分得
d rE2 o ?dy?dE1??(r?),③ ?d/2d/2?2?02?02 同理,上面板产生的场强为
E2??r?dy?d?(?r),④ 2?02?02r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0.
(2)在公式③和④中,令r = d/2,得
E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0, E就是平板表面的场强.
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场迭加的结果,是均强电场,方向与平板垂直,大小等于平板表面的场强,也能得出②式.
12.10 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为R` R 明小球空腔内的电场为匀强电场. [解答]挖去一块小球体,相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球R` O a O` 体,因此,空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加. 图12.10