内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:32:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
对于一个半径为R,电荷体密度为ρ的球体来说,当场点P在球内时,过P点作一半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程
E4?r2?143?r? ?03P点场强大小为 E??r. 3?0当场点P在球外时,过P点作一半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程
E4?r2?14?R3? ?03?R3P点场强大小为 E?. 23?0rO点在大球体中心、小球体之外.大球体在O点产生的场强为零,小球在O点产生的场强大小为
?R`3,方向由O指向O`. EO?23?0aO`点在小球体中心、大球体之内.小球体在O`点产生的场强为零,大球在O点产生的场强大小为
θ Er EO`??a,方向也由O指向O`. 3?0r P E r` Er` O a O` [证明]在小球内任一点P,大球和小球产生的场强大小分别为
Er???r, Er`?r`,方向如图所示. 3?03?0设两场强之间的夹角为θ,合场强的平方为 E2?Er2?Er`2?2ErEr`cos??(根据余弦定理得
2 a2?r2?r`?2rr`co?s?(?, )所以 E??222)r(?r`?2rr`c?o,s )3?0?a, 3?0可见:空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明:场强的方向沿着O到O`的方向.因此空腔内的电场为匀强电场.
12.11 如图所示,在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验电荷q 0从O点经过半圆弧路径移到C点,求移动过程中电场力所做的功.
[解答]正负电荷在O点的电势的和为零:UO = 0; D 在C点产生的电势为 A O B q?q?q-q +q C , U???C4??03R4??0R6??0R图12.11
电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为
W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R.
12.12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密度为2ζ,B平面的电荷面密度为ζ,两面间的距离为d.当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为多少?
[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2ζ/2ε0 = ζ/ε0,EB = ζ/2ε0,
两平面在它们之间产生的场强方向相反,因此,总场强大小为 E = EA - EB = ζ/2ε0, 方向由A平面指向B平面.
两平面间的电势差为 U = Ed = ζd/2ε0,
当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为 W = qU = qζd/2ε0.
12.13 一半径为R的均匀带电球面,带电量为Q.若规定该球面上电势值为零,则无限远处的电势为多少?
[解答]带电球面在外部产生的场强为 E????Q4??0r2,
??Q由于 UR?U???E?dl??Edr??dr?24??r4??0r0RRRQ当UR = 0时,U???.
4??0RQ?RQ4??0R,
12.14 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内,试证明离球心r(r Q(3R2?r2). U?38??0R4Q3Q. ?R3,电荷的体密度为 ???3V4?R3?Q利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为E?r?r,(r≦R); 33?04??0RQ,(r≧R). E?24??0r[证明]球的体积为V?取无穷远处的电势为零,则r处的电势为 ?R?U??E?dl??Edr??Edr??rrRrRQ4??0R3?rdr??RQ4??0r2dr?Q8??0R3Rr2r?Q?4??0r? RQ(3R2?r2). ??(R?r)?338??0R4??0R8??0RQ22Q 12.15 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷,电荷体密度为ρ,其它地方无电荷. (1)求此带电系统的电场分布,画E-y图; (2)以y = 0作为零电势面,求电势分布,画E-y图. E` E [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:E = S0 E`,但方向相反. S2 S1 b -b o (1)在板内取一底面积为S,高为2y的圆柱面作为高斯面,场强与上 下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为 y S2 S0 ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS?2ES. SS1S2S0E` E S1 高斯面内的体积为 V = 2yS, b b 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy, 根据高斯定理 Φe = q/ε0, 可得场强为 E = ρy/ε0, (-b≦y≦b). 穿过平板作一底面积为S,高为2y的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES, 高斯面在板内的体积为 V = S2b,包含的电量为 q = ρV = ρS2b, 根据高斯定理 Φe = q/ε0, 可得场强为 E = ρb/ε0, (b≦y); E = -ρb/ε0, (y≦-b ). E-y图如图所示. (2)对于平面之间的点,电势为 ?????y?y2U???E?dl???dy???C, ?02?0 ?y2在y = 0处U = 0,所以C = 0,因此电势为 U??,(-b≦y≦b).这是一条开口向下的抛物线. 2?0当y≧b时,电势为U??E?dl??nqbdy??nqby?C, ???0?0?b?b2在y = b处U = -ρb/2ε0,所以C = ρb/2ε0,因此电势为U??,(b≦y). y??02?02 2 当y≦-b时,电势为 U??E?dl????b?bdy?y?C, ?0?0在y = -b处U = -ρb2/2ε0,所以C = ρd2/2ε0,因此电势为 ?b?b2, U?y??02?0?b?b2两个公式综合得 U??,(|y|≧d). |y|??02?0-b o E U -b o b y 这是两条直线. U-y图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图,在y = ±b点,电场强度是连续的,因此,在U-y图中两条直线与抛物线在y = ±b点相切. [注意]根据电场求电势时,如果无法确定零势点,可不加积分的上下限,但是要在积分之后加一个积分常量.根据其它关系确定常量,就能求出电势,不过,线积分前面要加一个负号,即 U???E?dl这是因为积分的起点位置是积分下限. 12.16 两块“无限大”平行带电板如图所示,A板带正电,B板带负电并接地(地的电势为零),设 -6-2 A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷ζ=3.3×10C·m,求: A B (1)在两板之间离A板1.0cm处P点的电势; (2)A板的电势. P [解答]两板之间的电场强度为 E=ζ/ε0,方向从A指向B. 以B板为原点建立坐标系,则rB = 0,rP = -0.04m,rA = -0.05m. (1)P点和B板间的电势差为 图12.16 rBrB b y UP?UB??E?dl??Edr?rPrP?(rB?rP), ?0A P B o r 由于UB = 0,所以P点的电势为 3.3?10?6UP??0.04=1.493×104(V). ?128.84?10(2)同理可得A板的电势为 UA??(rB?rA)=1.866×104(V). ?0y r P1 x 12.17 电量q均匀分布在长为2L的细直线上,试求: (1)带电直线延长线上离中点为r处的电势; (2)带电直线中垂在线离中点为r处的电势; -L (3)由电势梯度算出上述两点的场强. [解答]电荷的线密度为λ = q/2L. (1)建立坐标系,在细在线取一线元dl,所带的电量为dq = λdl, 根据点电荷的电势公式,它在P1点产生的电势为 dU1?o l dl L 1?dl4??0r?l ?Ldl??总电势为 U1??ln(r?l)4??0??Lr?l4??0?dl, 4??0(r2?l2)1/2L?l??Lq8??0Llnr?L. r?L(2)建立坐标系,在细在线取一线元dl,所带的电量为dq = λdl, 在线的垂直平分在线的P2点产生的电势为 dU2?积分得 ?U2?4??0?q?122?ln(r?l?l)dl221/2?4??(r?l)0?LLL l??Ly P2 -L 8??0Llnr2?L2?Lr2?L2?L?q4??0Llnr2?L2?L. r r o θ lxx dl L x (3)P1点的场强大小为 ?Uq11q1E1??1?, ① (?)??r8??0Lr?Lr?L4??0r2?L2方向沿着x轴正向. P2点的场强为 E2???U2qq1r?[?]??r4??0r4??0Lrr2?L2(r2?L2?L)1r?L22, ② 方向沿着y轴正向. [讨论]习题12.3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为 E1?2L?,由于2Lλ = q,取x = r,就得公式①. 224??0x?L112L?取d2 = r,可得公式②. (2)习题12.3的解答还计算了中垂在线的场强为 Ey?24??0d2d2?L2 由此可见,电场强度可用场强迭加原理计算,也可以用电势的关系计算. 12.18 如图所示,一个均匀带电,内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,所带电荷体密度为ρ,试计算: R2 (1)A,B两点的电势; (2)利用电势梯度求A,B两点的场强. B rB O R [解答](1)A点在球壳的空腔内,空腔内的电势处处相等,因此A点的电1rA 势就等于球心O点的电势. A 在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳,其体积为 dV = 4πr2dr, 图12.18 包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr, 在球心处产生的电势为 dUO?dq4??0r??rdr, ?0R2 O 球心处的总电势为 R1 UO???0R2R1?rdr??2(R2?R12), 2?0r dr 这就是A点的电势UA. 过B点作一球面,B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的. 球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势,根据上面的推导可得 U1??2(R2?rB2). 2?0B R2 O rB 球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势.球壳在球面内的体积为 V?43?(rB?R13),包含的电量为 Q = ρV, 3 R1 这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为 U2?Q4??0rB??3(rB?R13). 3?0rBR13?22B点的电势为UB = U1 + U2?(3R2?rB?2). 6?0rB(2)A点的场强为 EA???UA?0. ?rA?UBR13?B点的场强为EB???(rB?2). ?rB3?0rB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面,由于面内没有电荷,根据高斯定理,可得空 腔中A点场强为 E = 0, (r≦R1). 过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面,面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV, 根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0, 4?(r3?R13), 3R13?可得B点的场强为 E?(r?2), (R1≦r≦R2).这两个结果与上面计算的结果相同. 3?0r在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面,面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV, 3?(R2?R13)根据高斯定理得可得球壳外的场强为 E?,(R2≦r). ?224??0r3?0r43?(R2?R13), 3qA点的电势为 3?(R2?R13)R13?(r?2)dr??dr UA??E?dl??Edr??0dr??23?0r3?0rrRR2rr?2 ?(R2?R12). 2?0??AAR1R2?A1B点的电势为 3?(R2?R13)R13?R13?22(r?2)dr??dr? UB??E?dl??Edr??(3R2?rB?2). 23?0r3?0r6?0rBrR2rr??BBR2?BA和B点的电势与前面计算的结果相同. 12.19 一圆盘,半径为R,均匀带电,面电荷密度为ζ,求: (1)圆盘轴线上任一点的电势(用该点与盘心的距离x来表示); (2)从电场强度的和电势梯度的关系,求该点的电场强度. (此题解答与书中例题解答相同,在此省略) 12.20 (1)设地球表面附近的场强约为200V·m-1,方向指向地球中心,试求地球所带有的总电量.