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（2）在离地面1400m高处，场强降为20V·m-1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度．

[解答]地球的平均半径为 R =6.371×106m．

（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量． 根据公式 E = -ζ/ε0，电荷面密度为 ζ = -ε0E；地球表面积为 S = 4πR2， 地球所带有的总电量为Q = ζS = -4πε0R2E = -R2E/k，k是静电力常量，

(6.371?106)2?2005

因此电量为 Q??=-9.02×10(C)． 99?10(R?h)2E`（2）在离地面高为h = 1400m的球面内的电量为 Q`??=-0.9×105(C)，

k大气层中的电荷为 q = Q - Q` = 8.12×105(C)．

由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为 V = 4πR2h = 0.714×1018(m3)， 平均电荷密度为 ρ = q/V = 1.137×10-12(C·m-3)．

第十三章 静电场中的导体和电介质

13．1 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分

别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）

[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为 E?q4??0r2P A o rA rC rB B ．

图13.1 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A

和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为 U?q4??0rc．

13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则

r R2 S1 R1 通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一

点的场强为多少？

D [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半l S 径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过0εr 等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．

设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为

?d???SD?dS??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlD，

S0S1S2S2 可得电位移为 D = λ/2πr，其方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr，方向也垂直中心轴向外．

13．3 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求

球心o的电势为多少？

[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心

b 都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电

o 势迭加，大小为 a r q 图13.3

Uo?q1?q1Q?q ??4??0r4??0a4??0b1

13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求

（1）B、C板上的电荷为多少？ （2）A板电势为多少？ B A C [解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为ζ1和ζ2，所带电量分别为

q q1 = ζ1S和q2 = ζ2S，

在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程

q = q1 + q2 = ζ1S + ζ2S． ① A、B间的场强为 E1 = ζ1/ε0，

A、C间的场强为 E2 = ζ2/ε0． 图13.4 设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则

ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 ζ1d1 = ζ2d2． ③

解联立方程①和③得 ζ1 = qd2/S(d1 + d2)， 所以 q1 = ζ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)．

(2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = ζ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，所以 ε0 = 10-9/36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)．

由于B板和C板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)．

13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B

有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？

q q1 q2 [解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得

q1 + q2 = 0． ① P 虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为 ζ1 = q1/S、ζ2 = q2/S、ζ = q/S，

B 它们产生的场强大小分别为 E1 = ζ1/ε0、E2 = ζ2/ε0、E = ζ/ε0． A 在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的图13.5 场强向左，取向右的方向为正，可得 E1 - E2 – E = 0，

即 ζ1 - ζ2 – ζ = 0， 或者 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．

13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？

ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 [解答]由于左板接地，所以ζ1 = 0．

由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面， 所以ζ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以ζ2 = -ζ3． 两板之间的场强为 E = ζ3/ε0，而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为

ζ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，

图13.6 ζ2 = -ζ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．

13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其它物体相距很远．将内球用细

24??0R2导线接地．试证：球面间电容可用公式C?表示．

R2?R1（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）

R2 o R1 R3

[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为

C1?4??0RR1?4??012

1/R1?1/R2R2?R11．

1/R2?1/R3外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为 C2?4??0外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共享一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为

4??0R2RR． C?C1?C2?4??012?4??0R2?R2?R1R2?R1方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的

迭加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为

2q4??0R24??0R1R因此感应电荷为q`??1q．

R2?q`?0，

根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 E?R1qq`， ??224??0r4??0R2r负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．

取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为

R1R1U?R2?E?dl?R2?Edr?R1R2?(?R1qR1q(R2?R1)q11)dr ?(?)?24??0R2r24??0R2R1R24??0R2球面间的电容为

2q4??0R2． C??UR2?R1

13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？

[解答]球形电容器的电容为 R2 C?4??0RR1?4??012．

1/R1?1/R2R2?R1R1 o 对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：

εr 图13.8 2??0R1R2． C1?R2?R1当电容器中充满介质时，电容为：C2?2??0?rR1R2．

R2?R1由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：C?C1?C2?2??0(1??r)R1R2．

R2?R1 13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．

[解答]假设在两介质的界面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别d1 ε1 为 C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2．

2 dε2 d2?2d??d111d1112总电容的倒数为 ， ?????CCC?1S?2S??12S图13.9 12

总电容为 C??1?2S． ?2d1??1d2

13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：

（1）两极的电势差U；

r R2 S1 R1 （2）介质中的电场强度E、电位移D；

（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？

D [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一l 个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通

S0 ε 过高斯面的电位移通量为

?d???SD?dS??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlD，

S0S1S2 高斯面包围的自由电荷为 q = λl，

根据介质中的高斯定理 Φd = q，

可得电位为 D = λ/2πr，方向垂直中心轴向外．

电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外．

取一条电力线为积分路径，电势差为

R2S2 U??E?dl??Edr?LL?dr??lnR2． ?2??r2??R1R1q2??l． ?Uln(R2/R1)2??0lq在真空时的电容为 C0?，所以倍数为C/C0 = ε/ε0． ?Uln(R2/R1)电容为 C?

13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：

（1）介质层内、外D、E、P的分布；

（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．

[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为

?d?蜒?D?dS?S?SDdS?4?r2D

高斯面包围的自由电荷为q = Q0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = Q0/4πr2，

方向沿着径向．用向量表示为 D = Q0r/4πr3．

电场强度为 E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3，方向沿着径向．

Q0r． 3?r4?r在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以 D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r3，P = 0．

（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为 E0 = Q0r/4πε0r3； 极化电荷q1`产生的场强为E` = q1`r/4πε0r3； 总场强为 E = Q0r/4πε0εrr3．

1`由于 E = E0 + E`，解得极化电荷为 q1?(?1)Q0， ?r由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = (1?1)

`Q0q11介质层内表面的极化电荷面密度为 ??． ?(?1)224?R1?r4?R1`1``在介质层外表面，极化电荷为 q2， ??q1`q21Q0面密度为 ??． ?(1?)224?R2?r4?R2`2 13．12 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？

[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为 W1:W2 = C2:C1 = 2:1．

两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为 W1:W2 = C1:C2 = 1:2．

13．13 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？

[解答]平行板电容器的电容为 C = ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = ε0εrS/2d．两个电容器并联，总电容为 C = C1 + C2 = (1 + εr)ε0S/2d， 静电能为 W = CU2/2 = (1 + εr)ε0SU2/4d．

13．14 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．

[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr)ε0S/2d．

（2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为 W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d．

（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则

Q1 + Q2 = Q． ① 由于C = Q/U，所以

U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得

Q1?C0UC1Q， ?C1?C21?C2/C1真空中一半电容器的自由电荷面密度为

?1?2C0U2?0UQ1． ??S/2(1?C2/C1)S(1??r)d2C0U2?0?rU． ?(C1/C2?1)S(1??r)d同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为

?2? 13．15 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V的电源相连．求：

（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？

（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？ [解答]平行板电容器的电容为 C0 = ε0εrS/d，静电能为 W0 = C0U2/2． 玻璃板抽出之后的电容为 C = ε0S/d．

（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2， 电能器能量变化为