内容发布更新时间 : 2024/6/3 20:21:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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19．(本小题满分14分)△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B

2为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．

19．分析：本题利用正余弦定理的边角关系找到顶点A的ρ、θ之间的关系，从而求得其轨迹方程．

解析：如下图，令A(ρ，θ)，

在△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝由正弦定理，得

θ2

，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是

ρ?3θ???π－sin 2??

＝10sin

2

θ，

化简，得点A轨迹的极坐标方程为

ρ＝10＋20cos θ.

20．(本小题满分14分)已知定点A(a，0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝

π

.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极3

轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．

20．解析：设Q、P的坐标分别是(ρ，θ)、(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.

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在△POA中，由正弦定理得，

?2π?asin θa

??ρ1＝·sin. －θ，|PA|＝

ππ?3?sinsin 33

又|OQ|＝|OP|＋|PA|，

?π?

∴ρ＝2asin?θ＋?.

6??

21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．

21．分析：需要找出点Q的极角和极径的关系，在这里我们可以通过三角形的面积建立关系．

解析：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，

θ)，P(1，2θ)．

因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP，

111

所以·3ρ·sin θ＋ρ·sin θ＝×3×1×sin 2θ.

2223

整理得ρ＝cos θ.

2

22．(本小题满分14分)已知半圆直径|AB|＝2r(r＞0)，半圆外一条

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r????2a＜直线l与AB所在直线垂直相交与点T，并且|AT|＝2a2?.若半圆上?相异两点M、N到l的距离|MP|，|NQ|满足|MP|∶|MA|＝|NQ|∶|NA|＝1，通过建立极坐标系，求证|MA|＋|NA|＝|AB|.

22．证明：证法一 以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系， 则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcos θ， 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)， 则ρ1＝2rcos θ1，ρ2＝2rcos θ2， 又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2rcos2θ1， |NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2rcos2θ2， ∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcos θ1， ∴|NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcos θ2，

∴cos θ1，cos θ2是关于cos θ的方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|MA|＋|NA|＝2rcos

θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|.

证法二 以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系， 则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcos θ， 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，

2a

又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝上，

1－cos θ∴2rcos θ＝

2a

，rcos2θ－rcos θ＋a＝0，

1－cos θ∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的两个根， 由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，

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∴|MA|＋|NA|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|.

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