内容发布更新时间 : 2024/11/6 8:19:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

方差计算公式的证明

（1） 用新数据法求平均数

当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： = +a.其中，常

1 数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， = -a, = -a,…, = -a ○

=( + )是新数据的平均数（通常把 , ,…, ,叫做原数据，

, ,…, , 叫做新数据）。证明： 1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式： 把○ + = -a+ -a+…+ -a + = + +…+ -na

=

2 —a 即 ○

亦即 = +a

（2） 方差的基本公式

方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据 ， ， ， 中，各数据与他们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“ ”表示，即:

=[ + ]

(3) 方差的简化计算公式

= [ + +…+ )-n ] 也可写成 =[ + +…+ )]-

此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明：

= [ + ]

=[ + + + +…+ + ]

+n ] =[ + +…+ )-2 + +…+

=[ + +…+ )-2n

=[ + +…+ )-2n

= [ + +…+ )-n ]

= + +…+ )- ………………..(I)

1

1，有 = +a, = +a,… = +a,和 = +a(详见（1）的证明) 根据○

代入简化公式（I）,则有：

= [（ ）+（ ）+… （ ） - =[( + +…+ )+2a( + +…+ )+n ]-( +2 a+ )

=( + +…+ )+2a+ -

2 a-

= ( + +…+ )+ 2 a+ =( + +…+ ) …………………….(II)

此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。

由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等

量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方差 都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据 , ,…, 计算方差；简化公

式（II）按新数据 , ,…, 计算方差，计算出的方差相同。

(4) 用新数据法计算方差

原数据 , ,…, 的方差与新数据 = -a, = -a,…, = -a的方差相等。也就

是说，根据方差的基本公式，求得的 , ,…, 的方差就等于原数据 , ,…, 的方差。

证明：

1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有： 把○

- =( -a)-( -a)= -

- =( -a)-( -a)= -

…………

- =( -a)-( -a)= -

再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2：

（ ）=（ ） （ ）=（ ）

…………

（ ）=（ ）

最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：

[（ ）+（ ）+…+（ ）]= [ + ]

这就是根据方差的基本公式，求得的 , ,…, 的方差就等于原数据 , ,…, 的方差。

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