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共138页 第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

qR?R?D?[3?3]? 赤道平面 q 4?R?R? err?ez(z?a)qerr?ez(z?a)a {2?}2322232 4?[r?(z?a)][r?(z?a)] 则球赤道平面上电通密度的通量

???DgdS??DgezSSz?0dS?

?q 题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 223222324??(r?a)(r?a)0aaqa1?(?1)q??0.293q 2212(r?a)023.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为

Ze?1r?D0?er???，试证明之。

4??r2ra3?Ze 解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?er24?rZe3Ze????? 原子内电子云的电荷体密度为

4?ra334?ra3电子云在原子内产生的电通量密度则为 b a ?4?r33Zer?0 D?e??e2rrc 23 4?r4?r aZe?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er??? 题3. 3图(a) 4??r2ra3? 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?Cm3, 两圆柱面半

0径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

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在r?b区域中，由高斯定律??EgdS?S?0，可求得大、小圆柱中的正、负电

q?b2?0?0b2r? 荷在点P产生的电场分别为 E1?er2??0r2?0r2b b c a ?0 ＝ ?0 c a ＋

b ?? 0a c 题3. 3图(b)

??a2?0?0a2r??E1??er??2 ??2??0r2?0r

?b2ra2r?(?2) 点P处总的电场为 E?E1?E1??2?0r2r?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电

场分别为

?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2

2??0r2?02??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别

为

?r2?0?0r??r?2?0?0r???E3?er?E?e?? 3 r2??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为 332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。

1d2(rDr) 2rdr解：由?gD??，有 ?(r)??gD?故在r?a区域 ?(r)??01d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr541d(a?Aa)2[r]?0 在r?a区域 ?(r)??022rdrr3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为

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E?er(ra)4，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r3???0?gE??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04

rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为

2Q???2?0 24?a 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具有什么关系？

a?D0gdS?q，当r?a时，有 D01?0 解 （1）由高斯定理?S当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er?1ba?1?b?2???0，则得到 （2）令 D03?er ?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从

点P（1）沿曲线x?2y2；（2）沿连1(2,1,?1)移到点P2(8,2,?1)时电场所做的功：接该两点的直线。

dl?q?Egdl?q?Exdx?Eydy? 解 （1）W??FgCCC2q?ydx?xdy?q?yd(2y2)?2y2dy?C12q?6y2dy?14q??28?10?6(J)

1（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?2故

2W?2q?ydx?xdy?q?yd(6y?4)?(6y?4)dy?C1q?(12y?4)dy?14q??28?10?6(J)

13.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电