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2005年考研数学二真题与解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设y?(1?sinx)x，则dy|x??=______ . （2） 曲线y?1(1?x)x232的斜渐近线方程为______ . （3）
?(2?x0xdx2)1?x?______ . 1的解为______ . 9（4） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= ______ . （6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
?y?ln(1?t)11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
(A)
22（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??
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(A) ab?. (B)
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?则必有
?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有一阶导数，
?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2.
?x2?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C) ?2. [ ] ?2. (D)
?x?y?x?x?y?y（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A)
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
**（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B的伴随矩
阵，则
(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B. (C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分11分）
********?设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.
（16）（本题满分11分） 如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象. 过2C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；
C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
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（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
（18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足
?30(x2?x)f???(x)dx.
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42（21）（本题满分9分） 计算二重积分
??xD2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分） 确定常数
a,使向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
但向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，性表示. （23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），且AB=O, 求????36k??线性方程组Ax=0的通解.
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2005年考研数学二真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设y?(1?sinx)x，则dyx?? = ??dx .
【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】 方法一： y?(1?sinx)x=exln(1?sinx)，于是
y??exln(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x?cosx1?sinx]，
从而 dyx??=y?(?)dx???dx.
方法二： 两边取对数，lny?xln(1?sinx)，对x求导，得
1yy??ln(1?sinx)?xcosx1?sinx， 于是 y??(1?sinx)x?[ln(1?sinx)?x?cosx1?sinx]，故
dyx??=y?(?)dx???dx.
3（2） 曲线y?(1?x)2x的斜渐近线方程为y?x?32. 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 32【详解】 因为a=f(x)(1?x)xlim???x?xlim???xx?1, 33 b?(1?x)2?x2 xlim????f(x)?ax??xlim???x?32， 于是所求斜渐近线方程为y?x?32. （3）
?1xdx0(2?x2)1?x2?
?4 . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令x?sint，则
?1xdx?sintcost0(2?x2)1?x2??20(2?sin2t)costdt ?? =??2dcost201?cos2t??arctan(cost)0??4.
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（4） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为y?13xlnx?19x.. 【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：
y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]，
再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为
y??2xy?lnx， 于是通解为 y?e??22xdx[?lnx?e?xdxdx?C]?1x2?[?x2lnxdx?C] =
13xlnx?19x?C1x2， 由y(1)??19得C=0，故所求解为y?113xlnx?9x.
（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k=
34 . 【分析】 题设相当于已知lim?(x)?0?(x)?1，由此确定k即可.
x【详解】 由题设，lim?(x)1?xarcsinx?cosx?0?(x)?limxx?0kx2 =limxarcsinx?1?cosxx?0kx2(1?xarcsinx?cosx)
=
1xarcsinx?1?cosx32klimx?0x2?4k?1，得k?34. （6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? 2 .
【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)
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